미적분 예제

$\frac{x^{2} - 8}{x - 3}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - 8$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8] - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.3

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.4.2

$x - 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.7

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.4.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

단계 3.5

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 8$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $8$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 4, - 2$

단계 3.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2}}$