미적분 예제

$2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$

단계 1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 {(t^{2} + 11 t)}^{- 7}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 11 t)}^{- 7}]$

단계 2

$f (t) = t^{- 7}$ , $g (t) = t^{2} + 11 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{2} + 11 t$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 7}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

단계 2.2

$n = - 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- 7 u^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $t^{2} + 11 t$ 로 바꿉니다.

$2 (- 7 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 14 ({(t^{2} + 11 t)}^{- 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 11 t])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $t^{2} + 11 t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t]$ 가 됩니다.

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11 t])$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + \frac{d}{d t} [11 t])$

단계 3.4

$11$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $11 t$ 의 미분은 $11 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \frac{d}{d t} [t])$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11 \cdot 1)$

단계 3.6

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 14 {(t^{2} + 11 t)}^{- 8} (2 t + 11)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 14 \frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 14$ 와 $\frac{1}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$

단계 4.3

$- \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}} (2 t + 11)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (2 t + 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (2 t) - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

단계 4.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 2 t - 1 \cdot 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

단계 4.6

$- 1$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t^{2} + 11 t)}^{8}}$

단계 4.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$t^{2} + 11 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.7.1.1

$t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + 11 t)}^{8}}$

단계 4.7.1.2

$11 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t \cdot t + t \cdot 11)}^{8}}$

단계 4.7.1.3

$t \cdot t + t \cdot 11$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$(- 2 t - 11) \frac{14}{{(t (t + 11))}^{8}}$

단계 4.7.2

$t (t + 11)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(- 2 t - 11) \frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

단계 4.8

$- 2 t - 11$ 에 $\frac{14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 2 t - 11) \cdot 14}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

단계 4.9

$- 2 t - 11$ 의 왼쪽으로 $14$ 이동하기

$\frac{14 \cdot (- 2 t - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

단계 4.10

$- 2 t$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{14 (- (2 t) - 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

단계 4.11

$- 11$ 을 $- 1 (11)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{14 (- (2 t) - 1 (11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

단계 4.12

$- (2 t) - 1 (11)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{14 (- (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

단계 4.13

$- (2 t + 11)$ 을 $- 1 (2 t + 11)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{14 (- 1 (2 t + 11))}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$

단계 4.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{14 (2 t + 11)}{t^{8} {(t + 11)}^{8}}$