미적분 예제

$2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

단계 2

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

단계 2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

단계 3

$\frac{d}{d t} [6 t]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $6 t$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$6 t^{2} + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 t^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

단계 3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 t^{2} + 6 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

단계 4

$\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$- 4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \frac{4}{t^{2}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ 입니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

단계 4.2

$\frac{1}{t^{2}}$ 을 ${(t^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

단계 4.3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4.3.3

$u$ 를 모두 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

단계 4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

단계 4.5

${(t^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

단계 4.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{- 4} (2 t))$

단계 4.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 4} t)$

단계 4.7

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

단계 4.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{1 - 4})$

단계 4.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 3})$

단계 4.10

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$6 t^{2} + 6 + 8 t^{- 3}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$6 t^{2} + 6 + 8 \frac{1}{t^{3}}$

단계 5.2

$8$ 와 $\frac{1}{t^{3}}$ 을 묶습니다.

$6 t^{2} + 6 + \frac{8}{t^{3}}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$6 t^{2} + \frac{8}{t^{3}} + 6$