미적분 예제

$f (t) = \frac{6}{\sqrt{t^{2} - 9}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t^{2} - 9}$ 을(를) ${(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

$6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 \frac{d}{d t} [{({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 1.3.2

${({(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

단계 1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

단계 1.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (t) = t^{- \frac{1}{2}}$ , $g (t) = t^{2} - 9$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{2} - 9$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $t^{2} - 9$ 로 바꿉니다.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 6.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 (- \frac{1}{2} {(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 8

${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (- \frac{{(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(t^{2} - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$6 (- \frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 9.2

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 6 (\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9])$

단계 10

$\frac{1}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ 와 $- 6$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

단계 11

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

단계 12

공약수로 약분합니다.

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단계 12.1

$2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 ({(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

단계 12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 {(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

단계 12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

단계 13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 9]$

단계 14

합의 법칙에 의해 $t^{2} - 9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ 가 됩니다.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])$

단계 15

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 9])$

단계 16

$- 9$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t + 0)$

단계 17

분수를 통분합니다.

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단계 17.1

$2 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 t)$

단계 17.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

단계 17.3

$- 2$ 와 $\frac{3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 3}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

단계 17.4

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}} t$

단계 17.5

$\frac{- 6}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 17.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6 t}{{(t^{2} - 9)}^{\frac{3}{2}}}$