미적분 예제

$g (t) = \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{3}}$ 을 ${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d t} [{({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

단계 1.2

${({(t^{4} + 1)}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

단계 1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d t} [{(t^{4} + 1)}^{- 3}]$

단계 2

$f (t) = t^{- 3}$ , $g (t) = t^{4} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{4} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

단계 2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $t^{4} + 1$ 로 바꿉니다.

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t^{4} + 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $t^{4} + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [1])$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [1])$

단계 3.3

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3} + 0)$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$4 t^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 {(t^{4} + 1)}^{- 4} (4 t^{3})$

단계 3.4.2

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 12 {(t^{4} + 1)}^{- 4} t^{3}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 12 \frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 12$ 와 $\frac{1}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}} t^{3}$

단계 4.2.3

$t^{3}$ 와 $\frac{12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t^{3} \cdot 12}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$

단계 4.2.4

$t^{3}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$- \frac{12 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{4}}$