미적분 예제

$\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{5}{9 w^{4}} + 5 \sqrt[3]{w}$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2

$\frac{d}{d w} [\frac{5}{9 w^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{5}{9}$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $\frac{5}{9 w^{4}}$ 의 미분은 $\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}]$ 입니다.

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{4}}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.2

$\frac{1}{w^{4}}$ 을 ${(w^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{9} \frac{d}{d w} [{(w^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.3

$f (w) = w^{- 1}$ , $g (w) = w^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $w^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{9} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{9} (- u^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $w^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{4}]) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{9} (- {(w^{4})}^{- 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.5

${(w^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{5}{9} (- w^{4 \cdot - 2} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{9} (- w^{- 8} (4 w^{3})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 8} w^{3}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.7

지수를 더하여 $w^{- 8}$ 에 $w^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.1

$w^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5}{9} (- 4 (w^{3} w^{- 8})) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5}{9} (- 4 w^{3 - 8}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{5}{9} (- 4 w^{- 5}) + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.8

$- 4$ 와 $\frac{5}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 5}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.9

$- 4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 20}{9} w^{- 5} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.10

$\frac{- 20}{9}$ 와 $w^{- 5}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 20 w^{- 5}}{9} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $w^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$

단계 3

$\frac{d}{d w} [5 \sqrt[3]{w}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{w}$ 을(를) $w^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{d}{d w} [5 w^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.2

$5$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $5 w^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.3

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 3.7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{\frac{- 2}{3}})$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 (\frac{1}{3} w^{- \frac{2}{3}})$

단계 3.9

$\frac{1}{3}$ 와 $w^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + 5 \frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 3.10

$5$ 와 $\frac{w^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5 w^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $w^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{20}{9 w^{5}} + \frac{5}{3 w^{\frac{2}{3}}}$