미적분 예제

${(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{3}$

단계 1

$f (v) = v^{3}$ , $g (v) = v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 는 $f' (g (v)) g' (v)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 7 v^{- 2}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 7 v^{- 2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ 로 바꿉니다.

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} \frac{d}{d v} [v^{- 3} + 7 v^{- 2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $v^{- 3} + 7 v^{- 2}$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [7 v^{- 2}]$ 가 됩니다.

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (\frac{d}{d v} [v^{- 3}] + \frac{d}{d v} [7 v^{- 2}])$

단계 2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + \frac{d}{d v} [7 v^{- 2}])$

단계 2.3

$7$ 은 $v$ 에 대해 일정하므로 $v$ 에 대한 $7 v^{- 2}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ 입니다.

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 7 \frac{d}{d v} [v^{- 2}])$

단계 2.4

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} + 7 (- 2 v^{- 3}))$

단계 2.5

$- 2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$3 {(v^{- 3} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 14 v^{- 3})$

단계 3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 v^{- 2})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 14 v^{- 3})$

단계 4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- 3 v^{- 4} - 14 v^{- 3})$

단계 5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- 3 \frac{1}{v^{4}} - 14 v^{- 3})$

단계 6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + 7 \frac{1}{v^{2}})}^{2} (- 3 \frac{1}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

단계 7

항을 묶습니다.

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단계 7.1

$7$ 와 $\frac{1}{v^{2}}$ 을 묶습니다.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- 3 \frac{1}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

단계 7.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{v^{4}}$ 을 묶습니다.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (\frac{- 3}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

단계 7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- \frac{3}{v^{4}} - 14 \frac{1}{v^{3}})$

단계 7.4

$- 14$ 와 $\frac{1}{v^{3}}$ 을 묶습니다.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- \frac{3}{v^{4}} + \frac{- 14}{v^{3}})$

단계 7.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 {(\frac{1}{v^{3}} + \frac{7}{v^{2}})}^{2} (- \frac{3}{v^{4}} - \frac{14}{v^{3}})$