미적분 예제

$y = t \ln^{2} (8 t)$

단계 1

$f (t) = t$ , $g (t) = \ln^{2} (8 t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (8 t)] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 2

$f (t) = t^{2}$ , $g (t) = \ln (8 t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (8 t)$ 로 바꿉니다.

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (8 t)$ 로 바꿉니다.

$t (2 \ln (8 t) \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 3

$f (t) = \ln (t)$ , $g (t) = 8 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $8 t$ 로 바꿉니다.

$t (2 \ln (8 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$t (2 \ln (8 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $8 t$ 로 바꿉니다.

$t (2 \ln (8 t) (\frac{1}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{8 t}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$t (\frac{2}{8 t} \ln (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{2}{8 t}$ 와 $\ln (8 t)$ 을 묶습니다.

$t (\frac{2 \ln (8 t)}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.2.2

$2$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$2 \ln (8 t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$t (\frac{2 (\ln (8 t))}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$8 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$t (\frac{2 (\ln (8 t))}{2 (4 t)} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$t (\frac{2 \ln (8 t)}{2 (4 t)} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$t (\frac{\ln (8 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.2.3

$\frac{\ln (8 t)}{4 t}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (8 t) t}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.2.4

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (8 t) t}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (8 t)}{4} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.3

$8$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $8 t$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{\ln (8 t)}{4} (8 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$8$ 와 $\frac{\ln (8 t)}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 \ln (8 t)}{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4.2

$8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$8 \ln (8 t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \ln (8 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.4.2.2.4

$2 \ln (8 t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \ln (8 t) \cdot 1 + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t) \cdot 1$

단계 4.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.1

$\ln^{2} (8 t)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t)$

단계 4.8.2

항을 다시 정렬합니다.

$\ln^{2} (8 t) + 2 \ln (8 t)$