미적분 예제

$\tan (\sqrt{3 t})$

단계 1

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3 t}$ 을(를) ${(3 t)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 t)}^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.2

$3 t$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d t} [\tan ({(3 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.3

$3 (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d t} [\tan (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (t) = \tan (t)$ , $g (t) = 3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$\tan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u)$ 입니다.

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$3^{\frac{1}{2}}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 10

$3^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $t^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

단계 12

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ 와 $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

단계 13

$\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$