미적분 예제

$(x^{2} - 2 x - 1) (\frac{x + 1}{x + 3})$

단계 1

$f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ , $g (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x + 3}] + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 2

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.4.2

$x + 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.7

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1]$

단계 3.9

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.11

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.13

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.14

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2 + 0)$

단계 3.15

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - (x + 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

단계 4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{x + 3 - x - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

단계 4.2.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{0 + 3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

단계 4.2.3

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{3 - 1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

단계 4.2.4

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{x + 1}{x + 3} (2 x - 2)$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$(x^{2} - 2 x - 1) \frac{2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

단계 4.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$x^{2} - 2 x - 1$ 에 $\frac{2}{{(x + 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} - 2 x - 1) \cdot 2}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

단계 4.4.2

$x^{2} - 2 x - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + (2 x - 2) \frac{x + 1}{x + 3}$

단계 4.4.3

$2 x - 2$ 에 $\frac{x + 1}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 x - 2) (x + 1)}{x + 3}$

단계 4.4.4

$2 x - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.4.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) - 2) (x + 1)}{x + 3}$

단계 4.4.4.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(2 (x) + 2 (- 1)) (x + 1)}{x + 3}$

단계 4.4.4.3

$2 (x) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$

단계 4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

단계 4.6

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(x + 3)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.6.1

$\frac{2 (x - 1) (x + 1)}{x + 3}$ 에 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + 3)}$

단계 4.6.2

$x + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

단계 4.6.3

$x + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

단계 4.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

단계 4.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.8.1

$2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.8.1.1

$2 (x - 1) (x + 1) (x + 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.1.2

$2 (x^{2} - 2 x - 1) + 2 (((x - 1) (x + 1)) (x + 3))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + ((x - 1) (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 4.8.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x (x + 1) - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1)) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.3

$x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.8.3.1

인수가 항 $x \cdot 1$ 과(와) $- 1 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.3.2

$1 x$ 에서 $1 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.3.3

$x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x \cdot x - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.8.4.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1 \cdot 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + (x^{2} - 1) (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} - 1) (x + 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3))}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.6.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.6.1.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.8.6.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.6.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.6.1.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.6.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.6.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 1 \cdot 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.6.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} + 3 x^{2} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.7

$x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 + x^{3} - x - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.8

$- 2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x - 1 + x^{3} - 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.9

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (4 x^{2} - 3 x + x^{3} - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8.10

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 4)}{{(x + 3)}^{2}}$