미적분 예제

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 2

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.8

분수를 통분합니다.

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단계 3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.8.3

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

단계 3.8.4

$x - 1 - (x + 1)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x + 1}{x - 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 1 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 3 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 3 - 3 x + 3 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x - 3 - 3 x - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.5

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.6

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.7

$- 3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{- 6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.9

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ 에 $\frac{6}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.4.10

지수를 더하여 ${(x - 1)}^{2}$ 에 ${(x - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.10.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{2 + 2}}$

단계 4.4.10.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 6}{{(x - 1)}^{4}}$

단계 4.4.11

${(x + 1)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$