미적분 예제

$(x - 1) {(x^{2} + 2)}^{3}$

단계 1

$f (x) = x - 1$ , $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{3}] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 2$ 로 바꿉니다.

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 2$ 로 바꿉니다.

$(x - 1) (3 {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$x - 1$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.8

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + 0)$

단계 3.9

식을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \cdot 1$

단계 3.9.2

${(x^{2} + 2)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(6 x + 6 \cdot - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

단계 4.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

단계 4.3

$(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$ 에서 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.3.1

$(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x$ 에서 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{3}$

단계 4.3.2

${(x^{2} + 2)}^{3}$ 에서 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$

단계 4.3.3

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$ 에서 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x + x^{2} + 2)$