미적분 예제

$x = 0$ , $x = 3$ , $y = 2 e^{5 x}$ , $y = e^{5 x} + e^{10}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$2 e^{5 x} = e^{5 x} + e^{10}$

단계 1.2

$2 e^{5 x} = e^{5 x} + e^{10}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$e^{5 x}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$2 e^{5 x} = {(e^{x})}^{5} + e^{10} = e^{5 x} + e^{10}$

단계 1.2.2

$e^{x}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$2 e^{5 x} = u^{5} + e^{10} = e^{5 x} + e^{10}$

단계 1.2.3

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

방정식의 양변에서 $e^{5 x}$ 를 뺍니다.

$2 e^{5 x} - e^{5 x} = e^{10}$

단계 1.2.3.2

$2 e^{5 x}$ 에서 $e^{5 x}$ 을 뺍니다.

$e^{5 x} = e^{10}$

단계 1.2.4

밑이 같으므로 지수가 같을 경우에만 두 식은 같습니다.

$5 x = 10$

단계 1.2.5

$5 x = 10$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$5 x = 10$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

단계 1.2.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

단계 1.2.5.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{10}{5}$

단계 1.2.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.3.1

$10$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 1.3

$x = 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$y = e^{5 (2)} + e^{10}$

단계 1.3.2

$e^{5 (2)} + e^{10}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = e^{10} + e^{10}$

단계 1.3.2.2

$e^{10}$ 를 $e^{10}$ 에 더합니다.

$y = 2 e^{10}$

단계 1.4

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(2, 2 e^{10})$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{5 x} d x$

단계 3

$0$ 과(와) $2$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} - (2 e^{5 x}) d x$

단계 3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{2} e^{5 x} + e^{10} - 2 e^{5 x} d x$

단계 3.3

$e^{5 x}$ 에서 $2 e^{5 x}$ 을 뺍니다.

$\int_{0}^{2} e^{10} - e^{5 x} d x$

단계 3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{2} e^{10} d x + \int_{0}^{2} - e^{5 x} d x$

단계 3.5

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{10} x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - e^{5 x} d x$

단계 3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^{5 x} d x$

단계 3.7

먼저 $u = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$u = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.7.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 3.7.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 3.7.2

$u = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

단계 3.7.3

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 3.7.4

$u = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 \cdot 2$

단계 3.7.5

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 10$

단계 3.7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

단계 3.7.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{10} e^{u} \frac{1}{5} d u$

단계 3.8

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \int_{0}^{10} \frac{e^{u}}{5} d u$

단계 3.9

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{10} x]_{0}^{2} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{10} e^{u} d u)$

단계 3.10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{10} x]_{0}^{2} - \frac{1}{5} e^{u}]_{0}^{10}$

단계 3.11

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.1

$2$ , $0$ 일 때, $e^{10} x$ 값을 계산합니다.

$(e^{10} \cdot 2) - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} e^{u}]_{0}^{10}$

단계 3.11.2

$10$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(e^{10} \cdot 2) - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

단계 3.11.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.11.3.1

$e^{10}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot e^{10} - e^{10} \cdot 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

단계 3.11.3.2

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 e^{10} + 0 e^{10} - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

단계 3.11.3.3

$0$ 에 $e^{10}$ 을 곱합니다.

$2 e^{10} + 0 - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

단계 3.11.3.4

$2 e^{10}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 e^{10} - \frac{1}{5} ((e^{10}) - e^{0})$

단계 3.11.3.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$2 e^{10} - \frac{1}{5} (e^{10} - 1 \cdot 1)$

단계 3.11.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{10} - \frac{1}{5} (e^{10} - 1)$

단계 3.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 e^{10} - \frac{1}{5} e^{10} - \frac{1}{5} \cdot - 1$

단계 3.12.1.2

$e^{10}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 1$

단계 3.12.1.3

$- \frac{1}{5} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} + 1 (\frac{1}{5})$

단계 3.12.1.3.2

$\frac{1}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{10} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

단계 3.12.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 e^{10}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$2 e^{10} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

단계 3.12.3

$2 e^{10}$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{10} \cdot 5}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

단계 3.12.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 e^{10} \cdot 5 - e^{10}}{5} + \frac{1}{5}$

단계 3.12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 e^{10} \cdot 5 - e^{10} + 1}{5}$

단계 3.12.6

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10 e^{10} - e^{10} + 1}{5}$

단계 3.12.7

$10 e^{10}$ 에서 $e^{10}$ 을 뺍니다.

$\frac{9 e^{10} + 1}{5}$

단계 4

$A r e a = \int_{2}^{3} 2 e^{5 x} d x - \int_{2}^{3} e^{5 x} + e^{10} d x$

단계 5

$2$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{2}^{3} 2 e^{5 x} - (e^{5 x} + e^{10}) d x$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{2}^{3} 2 e^{5 x} - e^{5 x} - e^{10} d x$

단계 5.3

$2 e^{5 x}$ 에서 $e^{5 x}$ 을 뺍니다.

$\int_{2}^{3} e^{5 x} - e^{10} d x$

단계 5.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{2}^{3} e^{5 x} d x + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

단계 5.5

먼저 $u = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$u = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 5.5.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 5.5.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 5.5.2

$u = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 \cdot 2$

단계 5.5.3

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 10$

단계 5.5.4

$u = 5 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 \cdot 3$

단계 5.5.5

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 15$

단계 5.5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

단계 5.5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{10}^{15} e^{u} \frac{1}{5} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

단계 5.6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\int_{10}^{15} \frac{e^{u}}{5} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

단계 5.7

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int_{10}^{15} e^{u} d u + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

단계 5.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{5} e^{u}]_{10}^{15} + \int_{2}^{3} - e^{10} d x$

단계 5.9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{5} e^{u}]_{10}^{15} + - e^{10} x]_{2}^{3}$

단계 5.10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$15$ , $10$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{5} ((e^{15}) - e^{10}) + - e^{10} x]_{2}^{3}$

단계 5.10.2

$3$ , $2$ 일 때, $- e^{10} x$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{5} ((e^{15}) - e^{10}) + (- e^{10} \cdot 3) + e^{10} \cdot 2$

단계 5.10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.3.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - 3 e^{10} + e^{10} \cdot 2$

단계 5.10.3.2

$e^{10}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - 3 e^{10} + 2 \cdot e^{10}$

단계 5.10.3.3

$- 3 e^{10}$ 를 $2 e^{10}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5} (e^{15} - e^{10}) - e^{10}$

단계 5.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{5} e^{15} + \frac{1}{5} (- e^{10}) - e^{10}$

단계 5.11.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{15}}{5} + \frac{1}{5} (- e^{10}) - e^{10}$

단계 5.11.1.3

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{10}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} - e^{10}$

단계 5.11.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- e^{10}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} - e^{10} \cdot \frac{5}{5}$

단계 5.11.3

$- e^{10}$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{15}}{5} - \frac{e^{10}}{5} + \frac{- e^{10} \cdot 5}{5}$

단계 5.11.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{15}}{5} + \frac{- e^{10} - e^{10} \cdot 5}{5}$

단계 5.11.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{15} - e^{10} - e^{10} \cdot 5}{5}$

단계 5.11.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{15} - e^{10} - 5 e^{10}}{5}$

단계 5.11.7

$- e^{10}$ 에서 $5 e^{10}$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{15} - 6 e^{10}}{5}$

단계 6

$\frac{9 e^{10} + 1}{5} + \frac{e^{15} - 6 e^{10}}{5}$ 영역을 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 e^{10} + 1 + e^{15} - 6 e^{10}}{5}$

단계 6.2

$9 e^{10}$ 에서 $6 e^{10}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 e^{10} + 1 + e^{15}}{5}$

단계 7