미적분 예제

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$

단계 1

점근선을 구합니다.

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단계 1.1

식 $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

$x \leq 0$

단계 1.2

왼쪽에서 $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $\infty$ 이(가) $x$ $\to$ $0$ 이고, 오른쪽에서 $\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ $\to$ $- \infty$ 이(가) $x$ $\to$ $0$ 이므로 $x = 0$ 는 수직점근선입니다.

$x = 0$

단계 1.3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.3.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.3.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 1.3.1.1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

단계 1.3.1.1.3

지수 $x$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{x}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.3.1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.3.1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 1.3.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 1.3.1.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

단계 1.3.1.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

단계 1.3.1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

단계 1.3.1.5

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{e^{x}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

단계 1.3.2

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x e^{x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$0$

단계 1.4

수평점근선 나열:

$y = 0$

단계 1.5

로그와 삼각함수에서는 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 1.6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선: $x = 0$

수평점근선: $y = 0$

수직점근선: $x = 0$

수평점근선: $y = 0$

단계 2

$x = 1$ 인 점을 구합니다.

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단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{\ln (1)}{e^{1}}$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$f (1) = \frac{0}{e}$

단계 2.2.2

$0$ 을 $e$ 로 나눕니다.

$f (1) = 0$

단계 2.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 2.3

$0$ 를 소수로 변환합니다.

$y = 0$

단계 3

$x = 2$ 인 점을 구합니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

단계 3.2

최종 답은 $\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ 입니다.

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

단계 3.3

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ 를 소수로 변환합니다.

$y = 0.09380727$

단계 4

$x = 3$ 인 점을 구합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

단계 4.2

최종 답은 $\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ 입니다.

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

단계 4.3

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ 를 소수로 변환합니다.

$y = 0.05469668$

단계 5

로그 함수의 그래프는 수직점근선인 $x = 0$ 와 $(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ 점들을 사용하여 그릴 수 있습니다.

수직점근선: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

단계 6