미적분 예제

$y = 6 x^{2} - x^{3}$ , $(1, 5)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 5$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} - x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$12 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$12 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x - (3 x^{2})$

단계 1.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 x - 3 x^{2}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 x^{2} + 12 x$

단계 1.5

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- 3 {(1)}^{2} + 12 (1)$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.6.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 3 \cdot 1 + 12 (1)$

단계 1.6.1.2

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 + 12 (1)$

단계 1.6.1.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 + 12$

단계 1.6.2

$- 3$ 를 $12$ 에 더합니다.

$9$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $9$ 과 주어진 점 $(1, 5)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (5) = 9 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 5 = 9 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$9 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 5 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 5 = 9 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 5 = 9 x + 9 \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 5 = 9 x - 9$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$y = 9 x - 9 + 5$

단계 2.3.2.2

$- 9$ 를 $5$ 에 더합니다.

$y = 9 x - 4$

단계 3