미적분 예제

$y = \ln (x^{2} - 8)$ , $(3, 0)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 3$ , $y = 0$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} - 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} - 8} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])$

단계 1.2.3

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + 0)$

단계 1.2.4

분수를 통분합니다.

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단계 1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x)$

단계 1.2.4.2

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} - 8}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{2} - 8} x$

단계 1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} - 8}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{x^{2} - 8}$

단계 1.3

$x = 3$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$\frac{2 (3)}{{(3)}^{2} - 8}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{3^{2} - 8}$

단계 1.4.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{6}{9 - 8}$

단계 1.4.2.2

$9$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{6}{1}$

단계 1.4.3

$6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $6$ 과 주어진 점 $(3, 0)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (0) = 6 \cdot (x - (3))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y + 0 = 6 \cdot (x - 3)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 6 \cdot (x - 3)$

단계 2.3.2

$6 \cdot (x - 3)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = 6 x + 6 \cdot - 3$

단계 2.3.2.2

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = 6 x - 18$

단계 3