미적분 예제

$(x^{2} + 4) y = 8$ , $(2, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 2$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$f (x) = x^{2} + 4$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

단계 1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

단계 1.2.5

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

단계 1.2.6.2

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

단계 1.2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

단계 1.2.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

단계 1.3

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$0$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

방정식의 양변에서 $2 x y$ 를 뺍니다.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

단계 1.5.2

$x^{2} y' + 4 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$x^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

단계 1.5.2.2

$4 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

단계 1.5.2.3

$y' x^{2} + y' \cdot 4$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

단계 1.5.3

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ 의 각 항을 $x^{2} + 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ 의 각 항을 $x^{2} + 4$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

단계 1.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

$x^{2} + 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

단계 1.5.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

단계 1.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

단계 1.7

$y = 1$ 와 $x = 2$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{y}{{(2)}^{2} + 4}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{{(2)}^{2} + 4}$

단계 1.7.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4 + 4}$

단계 1.7.3.2

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{8}$

단계 1.7.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 4 \cdot \frac{1}{8}$

단계 1.7.4.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 1) \cdot \frac{1}{8}$

단계 1.7.4.2.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 1.7.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{4 \cdot 2}$

단계 1.7.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot \frac{1}{2}$

단계 1.7.4.3

$- 1 (\frac{1}{2})$ 을 $- (\frac{1}{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $- \frac{1}{2}$ 과 주어진 점 $(2, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

단계 2.3.1.4

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

단계 2.3.1.5.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

단계 2.3.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

단계 2.3.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

단계 2.3.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

단계 2.3.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = - \frac{x}{2} + 2$

단계 2.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

단계 2.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

단계 3