미적분 예제

$y = \frac{18}{x^{2} + 2}$ , $(1, 6)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 6$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

$18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{18}{x^{2} + 2}$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ 입니다.

$18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{x^{2} + 2}$ 을 ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 2$ 로 바꿉니다.

$18 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

단계 1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$18 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 2$ 로 바꿉니다.

$18 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$- 18 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

단계 1.3.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

단계 1.3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 18 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

단계 1.3.5.2

$2$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 36 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

단계 1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 1.4.2.1

$- 36$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

단계 1.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

단계 1.4.2.3

$x$ 와 $\frac{36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cdot 36}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 1.4.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $36$ 이동하기

$- \frac{36 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

단계 1.5

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{36 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{36}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

단계 1.6.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 1.6.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{36}{{(1 + 2)}^{2}}$

단계 1.6.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{36}{3^{2}}$

단계 1.6.2.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{36}{9}$

단계 1.6.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.6.3.1

$36$ 을 $9$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 4$

단계 1.6.3.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

기울기 $- 4$ 과 주어진 점 $(1, 6)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (6) = - 4 \cdot (x - (1))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.1

$- 4 \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 6 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 6 = - 4 \cdot (x - 1)$

단계 2.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 6 = - 4 x - 4 \cdot - 1$

단계 2.3.1.4

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 6 = - 4 x + 4$

단계 2.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 2.3.2.1

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$y = - 4 x + 4 + 6$

단계 2.3.2.2

$4$ 를 $6$ 에 더합니다.

$y = - 4 x + 10$

단계 3