미적분 예제

$y^{4} + x^{3} = y^{2} + 10 x$ , $(0, 1)$

단계 1

1차 도함수를 구하고 $x = 0$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{4} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 10 x)$

단계 1.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $y^{4} + x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.2.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 y^{3} y' + 3 x^{2}$

단계 1.2.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y'$

단계 1.3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} + 10 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 1.3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 1.3.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 1.3.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 1.3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [10 x]$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [10 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 x$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 y y' + 10 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y y' + 10 \cdot 1$

단계 1.3.3.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y y' + 10$

단계 1.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' = 2 y y' + 10$

단계 1.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

방정식의 양변에서 $2 y y'$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} + 4 y^{3} y' - 2 y y' = 10$

단계 1.5.2

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$4 y^{3} y' - 2 y y' = 10 - 3 x^{2}$

단계 1.5.3

$4 y^{3} y' - 2 y y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$4 y^{3} y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (2 y^{2}) - 2 y y' = 10 - 3 x^{2}$

단계 1.5.3.2

$- 2 y y'$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1 = 10 - 3 x^{2}$

단계 1.5.3.3

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' \cdot - 1$ 에서 $2 y y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 10 - 3 x^{2}$

단계 1.5.4

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 10 - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $2 y (2 y^{2} - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$2 y y' (2 y^{2} - 1) = 10 - 3 x^{2}$ 의 각 항을 $2 y (2 y^{2} - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} - 1)}{2 y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y' (2 y^{2} - 1)}{y (2 y^{2} - 1)} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.2.3

$2 y^{2} - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (2 y^{2} - 1)}{2 y^{2} - 1} = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.2.3.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{10}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.3.1.1

$10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.3.1.1.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 \cdot 5}{2 y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.3.1.1.2.1

$2 y (2 y^{2} - 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 \cdot 5}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 \cdot 5}{2 (y (2 y^{2} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.5.4.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.7

$y = 1$ 와 $x = 0$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$\frac{5}{y (2 y^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 y (2 y^{2} - 1)}$

단계 1.7.2

수식에서 변수 $y$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{5}{(1) (2 {(1)}^{2} - 1)} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

단계 1.7.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

$2 \cdot 1^{2} - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{2 \cdot 1^{2} - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

단계 1.7.3.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{5}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

단계 1.7.3.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{2 - 1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

단계 1.7.3.2.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{5}{1} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

단계 1.7.3.3

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2 (1) (2 {(1)}^{2} - 1)}$

단계 1.7.3.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$5 - \frac{3 \cdot 0}{2 (1) (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

단계 1.7.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 - \frac{3 \cdot 0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

단계 1.7.3.6

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$5 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1^{2} - 1)}$

단계 1.7.3.7

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.7.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$5 - \frac{0}{2 (2 \cdot 1 - 1)}$

단계 1.7.3.7.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 - \frac{0}{2 (2 - 1)}$

단계 1.7.3.7.3

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$5 - \frac{0}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.3.8

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 - \frac{0}{2}$

단계 1.7.3.9

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$5 - 0$

단계 1.7.3.10

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$5 + 0$

단계 1.7.4

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5$

단계 2

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

기울기 $5$ 과 주어진 점 $(0, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = 5 \cdot (x - (0))$

단계 2.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = 5 \cdot (x + 0)$

단계 2.3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y - 1 = 5 x$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = 5 x + 1$

단계 3