미적분 예제

$y = x^{2}$ , $y = 2 x - x^{2}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{2} = 2 x - x^{2}$

단계 1.2

$x^{2} = 2 x - x^{2}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$2 x - x^{2} = x^{2}$

단계 1.2.2

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x - x^{2} - x^{2} = 0$

단계 1.2.2.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$2 x - 2 x^{2} = 0$

단계 1.2.3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$2 u - 2 u^{2} = 0$

단계 1.2.3.2

$2 u - 2 u^{2}$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$2 u$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (1) - 2 u^{2} = 0$

단계 1.2.3.2.2

$- 2 u^{2}$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (1) + 2 u (- u) = 0$

단계 1.2.3.2.3

$2 u (1) + 2 u (- u)$ 에서 $2 u$ 를 인수분해합니다.

$2 u (1 - u) = 0$

단계 1.2.3.3

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$2 x (1 - x) = 0$

단계 1.2.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 x - x^{2}$

단계 1.2.5

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.6

$1 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$1 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$1 - x = 0$

단계 1.2.6.2

$1 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x = - 1$

단계 1.2.6.2.2

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.2.1

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.2.6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.2.6.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

단계 1.2.6.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 1$

단계 1.2.7

$2 x (1 - x) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 1$

단계 1.3

$x = 0$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$y = 2 (0) - {(0)}^{2}$

단계 1.3.2

$y = 2 (0) - {(0)}^{2}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 (0) - 0^{2}$

단계 1.3.2.2

$2 (0) - 0^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 - 0^{2}$

단계 1.3.2.2.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$y = 0 - 0$

단계 1.3.2.2.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y = 0 + 0$

단계 1.3.2.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y = 0$

단계 1.4

$x = 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = 2 (1) - {(1)}^{2}$

단계 1.4.2

$y = 2 (1) - {(1)}^{2}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 2 (1) - 1^{2}$

단계 1.4.2.2

$2 (1) - 1^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.2.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 2 - 1^{2}$

단계 1.4.2.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = 2 - 1 \cdot 1$

단계 1.4.2.2.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = 2 - 1$

단계 1.4.2.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = 1$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

단계 2

$2 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 2 x$

단계 3

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

단계 4

$0$ 과(와) $1$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x^{2}) d x$

단계 4.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} + 2 x d x$

단계 4.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

단계 4.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

단계 4.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

단계 4.6

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

단계 4.7

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 \int_{0}^{1} x d x$

단계 4.8

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

단계 4.9

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

단계 4.9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

단계 4.9.2.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.3

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 (\frac{1}{3} - 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{1}{3} + 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.5

$\frac{1}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.6

$- 2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 4.9.2.3.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

단계 4.9.2.3.10

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.10.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

단계 4.9.2.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 4.9.2.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 4.9.2.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

단계 4.9.2.3.10.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - 0)$

단계 4.9.2.3.11

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} + 0)$

단계 4.9.2.3.12

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

단계 4.9.2.3.13

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

단계 4.9.2.3.14

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.9.2.3.14.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

단계 4.9.2.3.14.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{3} + 1$

단계 4.9.2.3.15

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

단계 4.9.2.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 + 3}{3}$

단계 4.9.2.3.17

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3}$

단계 5