미적분 예제

$y = x^{2} + 6 x - 4$ , $y = x + 2$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$

단계 1.2

$x^{2} + 6 x - 4 = x + 2$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 1.2.1.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 6 x - 4 - x = 2$

단계 1.2.1.2

$6 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 5 x - 4 = 2$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x^{2} + 5 x - 4 - 2 = 0$

단계 1.2.3

$- 4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 5 x - 6 = 0$

단계 1.2.4

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$- 1, 6 + y = x + 2$

단계 1.2.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 1) (x + 6) = 0$

단계 1.2.5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

$x + 6 = 0 + y = x + 2$

단계 1.2.6

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.6.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 1.2.6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 1.2.7

$x + 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.7.1

$x + 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 6 = 0$

단계 1.2.7.2

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

단계 1.2.8

$(x - 1) (x + 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 6$

단계 1.3

$x = 1$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = (1) + 2$

단계 1.3.2

$y = (1) + 2$ 에서 $x$ 에 $1$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 1 + 2$

단계 1.3.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (1) + 2$

단계 1.3.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = 3$

단계 1.4

$x = - 6$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$x$ 에 $- 6$ 를 대입합니다.

$y = (- 6) + 2$

단계 1.4.2

$y = (- 6) + 2$ 에서 $x$ 에 $- 6$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = - 6 + 2$

단계 1.4.2.2

괄호를 제거합니다.

$y = (- 6) + 2$

단계 1.4.2.3

$- 6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = - 4$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

$(1, 3)$

$(- 6, - 4)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 6}^{1} x + 2 d x - \int_{- 6}^{1} x^{2} + 6 x - 4 d x$

단계 3

$- 6$ 과(와) $1$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - (x^{2} + 6 x - 4) d x$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x + 2 - x^{2} - (6 x) - - 4$

단계 3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x + 2 - x^{2} - 6 x - - 4$

단계 3.2.2.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$x + 2 - x^{2} - 6 x + 4$

$\int_{- 6}^{1} x + 2 - x^{2} - 6 x + 4 d x$

단계 3.3

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$- 5 x + 2 - x^{2} + 4$

단계 3.3.2

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 5 x - x^{2} + 6$

$\int_{- 6}^{1} - 5 x - x^{2} + 6 d x$

단계 3.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 6}^{1} - 5 x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

단계 3.5

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 5 \int_{- 6}^{1} x d x + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

단계 3.6

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

단계 3.7

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

단계 3.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - \int_{- 6}^{1} x^{2} d x + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

단계 3.9

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

단계 3.10

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + \int_{- 6}^{1} 6 d x$

단계 3.11

상수 규칙을 적용합니다.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 6}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

단계 3.12

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.12.1

$1$ , $- 6$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{1}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

단계 3.12.2

$1$ , $- 6$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + 6 x]_{- 6}^{1}$

단계 3.12.3

$1$ , $- 6$ 일 때, $6 x$ 값을 계산합니다.

$- 5 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 6)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.2

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{36}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.3

$36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.3.1

$36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 (1)}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{18}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.3.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.4

$- 1$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - 18) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 18$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 5 (\frac{1}{2} - 18 \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.6

$- 18$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 5 (\frac{1}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 5 \frac{1 - 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.8.1

$- 18$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 5 \frac{1 - 36}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.8.2

$1$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$- 5 (\frac{- 35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 5 (- \frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.10

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{35}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.11

$5$ 와 $\frac{35}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 35}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.12

$5$ 에 $35$ 을 곱합니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.13

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.14

$- 6$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 216}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.15

$- 216$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.15.1

$- 216$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.15.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 72}{1}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.15.2.4

$- 72$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} - - 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.16

$- 1$ 에 $- 72$ 을 곱합니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.17

공통 분모를 가지는 분수로 $72$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + 72 \cdot \frac{3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.18

$72$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{175}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{72 \cdot 3}{3}) + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 72 \cdot 3}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.20

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.20.1

$72$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{175}{2} - \frac{1 + 216}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.20.2

$1$ 를 $216$ 에 더합니다.

$\frac{175}{2} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.21

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{175}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.22

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{217}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.23

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.23.1

$\frac{175}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.23.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217}{3} \cdot \frac{2}{2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.23.3

$\frac{217}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.23.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{175 \cdot 3 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.25

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.25.1

$175$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{525 - 217 \cdot 2}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.25.2

$- 217$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{525 - 434}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.25.3

$525$ 에서 $434$ 을 뺍니다.

$\frac{91}{6} + (6 \cdot 1) - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.26

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{91}{6} + 6 - 6 \cdot - 6$

단계 3.12.4.27

$- 6$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{91}{6} + 6 + 36$

단계 3.12.4.28

$6$ 를 $36$ 에 더합니다.

$\frac{91}{6} + 42$

단계 3.12.4.29

공통 분모를 가지는 분수로 $42$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{91}{6} + 42 \cdot \frac{6}{6}$

단계 3.12.4.30

$42$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{91}{6} + \frac{42 \cdot 6}{6}$

단계 3.12.4.31

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{91 + 42 \cdot 6}{6}$

단계 3.12.4.32

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.12.4.32.1

$42$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{91 + 252}{6}$

단계 3.12.4.32.2

$91$ 를 $252$ 에 더합니다.

$\frac{343}{6}$

단계 4