미적분 예제

$y = 2 x + 15$ , $y = x^{2}$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$2 x + 15 = x^{2}$

단계 1.2

$2 x + 15 = x^{2}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x + 15 - x^{2} = 0$

단계 1.2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$2 x + 15 - x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1

수식을 다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1.1.1

$15$ 를 옮깁니다.

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

단계 1.2.2.1.1.2

$2 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0$

단계 1.2.2.1.2

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) + 2 x + 15 = 0$

단계 1.2.2.1.3

$2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 15 = 0$

단계 1.2.2.1.4

$15$ 을 $- 1 (- 15)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

단계 1.2.2.1.5

$- (x^{2}) - (- 2 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

단계 1.2.2.1.6

$- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 15)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$- (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

단계 1.2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 2 x - 15$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 15$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 5, 3 + y = x^{2}$

단계 1.2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- ((x - 5) (x + 3)) = 0$

단계 1.2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- (x - 5) (x + 3) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x^{2}$

단계 1.2.4

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 1.2.4.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 1.2.5

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 1.2.6

$- (x - 5) (x + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, - 3$

단계 1.3

$x = 5$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$y = {(5)}^{2}$

단계 1.3.2

$y = {(5)}^{2}$ 에서 $x$ 에 $5$ 을 대입하고 $y$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$y = 5^{2}$

단계 1.3.2.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 25$

단계 1.4

$x = - 3$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $- 3$ 를 대입합니다.

$y = {(- 3)}^{2}$

단계 1.4.2

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = 9$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(5, 25)$

$(- 3, 9)$

$(5, 25)$

$(- 3, 9)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 3}^{5} 2 x + 15 d x - \int_{- 3}^{5} x^{2} d x$

단계 3

$- 3$ 과(와) $5$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 3}^{5} 2 x + 15 - (x^{2}) d x$

단계 3.2

$- 1$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$\int_{- 3}^{5} 2 x + 15 - x^{2} d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 3}^{5} 2 x d x + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

단계 3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{- 3}^{5} x d x + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

단계 3.5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

단계 3.6

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

단계 3.7

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

단계 3.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - \int_{- 3}^{5} x^{2} d x$

단계 3.9

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5})$

단계 3.10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

단계 3.10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.1

$5$ , $- 3$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

단계 3.10.2.2

$5$ , $- 3$ 일 때, $15 x$ 값을 계산합니다.

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

단계 3.10.2.3

$5$ , $- 3$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.4.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.2

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.4

$25$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{16}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.5

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.4.5.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.4.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{8}{1}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.5.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \cdot 8 + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.6

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$16 + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.7

$15$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$16 + 75 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.8

$- 15$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$16 + 75 + 45 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.9

$75$ 를 $45$ 에 더합니다.

$16 + 120 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.10

$16$ 를 $120$ 에 더합니다.

$136 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.11

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

단계 3.10.2.4.12

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3})$

단계 3.10.2.4.13

$- 27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.4.13.1

$- 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

단계 3.10.2.4.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.4.13.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

단계 3.10.2.4.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

단계 3.10.2.4.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1})$

단계 3.10.2.4.13.2.4

$- 9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$136 - (\frac{125}{3} - - 9)$

단계 3.10.2.4.14

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$136 - (\frac{125}{3} + 9)$

단계 3.10.2.4.15

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$136 - (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

단계 3.10.2.4.16

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$136 - (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

단계 3.10.2.4.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$136 - \frac{125 + 9 \cdot 3}{3}$

단계 3.10.2.4.18

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.4.18.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$136 - \frac{125 + 27}{3}$

단계 3.10.2.4.18.2

$125$ 를 $27$ 에 더합니다.

$136 - \frac{152}{3}$

단계 3.10.2.4.19

공통 분모를 가지는 분수로 $136$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$136 \cdot \frac{3}{3} - \frac{152}{3}$

단계 3.10.2.4.20

$136$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{136 \cdot 3}{3} - \frac{152}{3}$

단계 3.10.2.4.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{136 \cdot 3 - 152}{3}$

단계 3.10.2.4.22

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.10.2.4.22.1

$136$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{408 - 152}{3}$

단계 3.10.2.4.22.2

$408$ 에서 $152$ 을 뺍니다.

$\frac{256}{3}$

단계 4