미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $a$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $a$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\cos (a + lim_{x \to 0} x) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.8

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.1.2.8.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a - lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.8.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\cos (a + 0) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.9

$\cos (a + 0) - \cos (a + 0)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.1.2.9.1

$a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (a) - \cos (a + 0)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.9.2

$a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\cos (a) - \cos (a)}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.9.3

$\cos (a)$ 에서 $\cos (a)$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (a + x) - \cos (a - x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x) - \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $\cos (a + x) - \cos (a - x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (a + x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\cos (a + x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.3.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = a + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $a + x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $a + x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \frac{d}{d x} [a + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.2

합의 법칙에 의해 $a + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.3

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) + \frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- \cos (a - x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (a - x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \frac{d}{d x} [\cos (a - x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = a - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $a - x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $a - x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \frac{d}{d x} [a - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.3

합의 법칙에 의해 $a - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.4

$a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.8

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (- \sin (a - x) \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - (1 \sin (a - x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.10

$\sin (a - x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (a + x) - \sin (a - x)}{1}$

단계 1.4

$- \sin (a + x) - \sin (a - x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} - \sin (a + x) - \sin (a - x)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

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단계 2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- lim_{x \to 0} \sin (a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

단계 2.2

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} a + x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

단계 2.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \sin (lim_{x \to 0} a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

단계 2.4

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $a$ 의 극한을 구합니다.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (a - x)$

단계 2.5

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - x)$

단계 2.6

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} a - lim_{x \to 0} x)$

단계 2.7

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $a$ 의 극한을 구합니다.

$- \sin (a + lim_{x \to 0} x) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \sin (a + 0) - \sin (a - lim_{x \to 0} x)$

단계 3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$- \sin (a + 0) - \sin (a + 0)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.1.1

$a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin (a) - \sin (a + 0)$

단계 4.1.2

$a$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin (a) - \sin (a)$

단계 4.2

$- \sin (a)$ 에서 $\sin (a)$ 을 뺍니다.

$- 2 \sin (a)$