미적분 예제

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x}$

단계 1

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.2

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.4

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3^{0} - 4^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.4.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{3^{0} - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 4^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.2.5.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

단계 1.1.3

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 4^{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x} - 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $3^{x} - 4^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.3

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 4^{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [4^{x}]$ 입니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - \frac{d}{d x} [4^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.4.2

$a$ = $4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)}{1}$

단계 1.4

$3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - 4^{x} \ln (4)$

단계 2

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 0} 3^{x} \ln (3) - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

단계 2.2

$\ln (3)$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\ln (3) lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

단계 2.3

극한을 지수로 옮깁니다.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4)$

단계 2.4

$\ln (4)$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) lim_{x \to 0} 4^{x}$

단계 2.5

극한을 지수로 옮깁니다.

$\ln (3) \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

단계 3

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x}$

단계 3.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\ln (3) \cdot 3^{0} - \ln (4) \cdot 4^{0}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (3) \cdot 1 - \ln (4) \cdot 4^{0}$

단계 4.1.2

$\ln (3)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 4^{0}$

단계 4.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\ln (3) - \ln (4) \cdot 1$

단계 4.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (3) - \ln (4)$

단계 4.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{3}{4})$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\ln (\frac{3}{4})$

소수 형태:

$- 0.28768207 \dots$