미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{3}} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

단계 1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x^{2}$ 로 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

단계 1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{x} + x}{4 x^{2} + 6 x}$

단계 2

분모의 $x$ 의 가장 높은 차수인 $x^{2}$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$x \sqrt{x}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x})}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x}}{x \cdot x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3.1.2

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3.1.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3.1.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{4 + \frac{6}{x}}$

단계 3.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 3.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.1.2

$x$ 이(가) 근에 대해 $\infty$ 에 접근함에 따라 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\frac{\infty}{\infty} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.9.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.5

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 4.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 7

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{6}{x}}$

단계 8

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

단계 8.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

단계 8.3

$6$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

단계 9

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ 및 $4 + 6 \cdot 0$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$\frac{1}{2} \cdot 0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{4 + 6 \cdot 0}$

단계 10.1.2

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{4 + 6 \cdot 0}$

단계 10.1.3

$2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{4 + 6 \cdot 0}$

단계 10.1.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 6 \cdot 0}$

단계 10.1.4.2

$6 \cdot 0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2) + 2 (3 \cdot 0)}$

단계 10.1.4.3

$2 (2) + 2 (3 \cdot 0)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

단계 10.1.4.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (2 + 3 \cdot 0)}$

단계 10.1.4.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

단계 10.2

$\frac{1}{2} \cdot 0 + 0$ 및 $2 + 3 \cdot 0$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

단계 10.2.2

$\frac{1}{2} \cdot 0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 3}$

단계 10.2.3

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 3}$

단계 10.2.4

$2 (\frac{1}{2} \cdot 0) + 2 (0)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 3}$

단계 10.2.5

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.5.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 3}$

단계 10.2.5.2

$0 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 3)}$

단계 10.2.5.3

$2 (1) + 2 (0 \cdot 3)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

단계 10.2.5.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 3)}$

단계 10.2.5.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

단계 10.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 3}$

단계 10.3.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 3}$

단계 10.4

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

$0$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{1 + 0}$

단계 10.4.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{0}{1}$

단계 10.5

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0$