미적분 예제

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

단계 3

먼저 $u = 4 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = 4 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$4 - x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

단계 3.1.2

미분합니다.

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단계 3.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.1.2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

단계 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 1 \cdot 1$

단계 3.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 1$

단계 3.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

단계 4

$- (- u + 4) u^{2}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

단계 4.3

괄호를 옮깁니다.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

단계 4.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

단계 4.5

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

단계 4.6

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

단계 4.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

단계 4.8

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

단계 4.9

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

단계 7

$- 4$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$- 4$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

단계 9.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $4 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

단계 11

답은 함수 $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$