미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sqrt{x} (6 + 5 x) d x$

단계 3

$u = 6 + 5 x$ 이고 $d v = \sqrt{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(6 + 5 x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d x$

단계 4.2

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 5 d x$

단계 4.3

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3} d x$

단계 4.4

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

단계 5

$\frac{10}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{10}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{10}{3} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$(6 + 5 x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ 을 $4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{2}{5}$ 와 $x^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

단계 7.2.2

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 에 $\frac{10}{3}$ 을 곱합니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 10}{5 \cdot 3} + C$

단계 7.2.3

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

단계 7.2.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

단계 7.2.5

$20 x^{\frac{5}{2}}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

단계 7.2.6

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.6.1

$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 (3)} + C$

단계 7.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{5 (4 x^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 3} + C$

단계 7.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

단계 7.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

단계 7.2.8

$10 x^{\frac{5}{2}}$ 에서 $4 x^{\frac{5}{2}}$ 을 뺍니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

단계 7.2.9

$6 x^{\frac{5}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3} + C$

단계 7.2.10

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.10.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 (1)} + C$

단계 7.2.10.2

공약수로 약분합니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (2 x^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

단계 7.2.10.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{1} + C$

단계 7.2.10.4

$2 x^{\frac{5}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$

단계 8

답은 함수 $f (x) = \sqrt{x} (6 + 5 x)$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{5}{2}} + C$