미적분 예제

$f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{2}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 9 x^{5} d x$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$x^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

단계 5.2

${(x^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 9 x^{5} d x$

단계 5.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \int x^{- 3} d x + \int 9 x^{5} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 9 x^{5} d x$

단계 7.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 9 x^{5} d x$

단계 8

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 \int x^{5} d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x^{5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} x^{6}$ 가 됩니다.

$2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 9 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 (\frac{1}{6} x^{6}) + C$

단계 10.2.2

$\frac{1}{6}$ 와 $x^{6}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 9 \frac{x^{6}}{6} + C$

단계 10.2.3

$9$ 와 $\frac{x^{6}}{6}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9 x^{6}}{6} + C$

단계 10.2.4

$9$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.4.1

$9 x^{6}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{6} + C$

단계 10.2.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.4.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 (2)} + C$

단계 10.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 (3 x^{6})}{3 \cdot 2} + C$

단계 10.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{6}}{2} + C$

단계 10.3

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$

단계 11

답은 함수 $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + 9 x^{5}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{2} x^{6} + C$