미적분 예제

$x (t) = 5 \cos (t)$ , $y (t) = 5 \sin (t)$

단계 1

매개변수 방정식 $x (t)$ 를 세워 방정식 $t$ 을 풉니다.

$x = 5 \cos (t)$

단계 2

$5 \cos (t) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$5 \cos (t) = x$

단계 3

$5 \cos (t) = x$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$5 \cos (t) = x$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

단계 3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cos (t)}{5} = \frac{x}{5}$

단계 3.2.1.2

$\cos (t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (t) = \frac{x}{5}$

단계 4

코사인 안의 $t$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$t = \arccos (\frac{x}{5})$

단계 5

$x$ 에 대한 방정식을 얻기 위하여 $y$ 의 방정식에서 $t$ 를 바꿉니다.

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

단계 6

괄호를 제거합니다.

$y = 5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$

단계 7

$5 \sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

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단계 7.1.1

평면에 $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ , $(\frac{x}{5}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (\frac{x}{5})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\frac{x}{5}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arccos (\frac{x}{5}))$ 는 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ 입니다.

$y = 5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

단계 7.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = 5 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

단계 7.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{x}{5}$ 입니다.

$y = 5 \sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

단계 7.3

항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = 5 \sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

단계 7.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

단계 7.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

단계 7.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = 5 \sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

단계 7.3.5

$\frac{5 + x}{5}$ 에 $\frac{5 - x}{5}$ 을 곱합니다.

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

단계 7.3.6

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = 5 \sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

단계 7.4

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ 을 ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.4.1

$(5 + x) (5 - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

단계 7.4.2

$25$ 에서 완전제곱인 $5^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = 5 \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

단계 7.4.3

분수 $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = 5 \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

단계 7.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = 5 (\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)})$

단계 7.6

$\frac{1}{5}$ 와 $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ 을 묶습니다.

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

단계 7.7

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.7.1

공약수로 약분합니다.

$y = 5 \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$

단계 7.7.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$