미적분 예제

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

단계 1.2.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

단계 1.2.4.3

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.4.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

단계 2.10

${(x^{2} - 1)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

단계 2.11

간단히 합니다.

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단계 2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

단계 2.11.2

$6$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

단계 2.11.3

$48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ 에서 $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.11.3.1

$48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ 에서 $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

단계 2.11.3.2

$8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ 에서 $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

단계 2.11.3.3

$8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ 에서 $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

단계 2.11.4

$6 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.5

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 을 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 2.11.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.11.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.11.7.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.11.7.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.7.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.7.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.7.1.3

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.7.1.4

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.7.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.7.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.8

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.9

간단히 합니다.

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단계 2.11.9.1

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.9.2

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

단계 2.11.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ 를 전개합니다.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.11.11.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.2

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.11.11.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.2.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.3

$8$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.4

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.11.11.6.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.6.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.7

$- 16$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.8

$- 1$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.9

$7$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

단계 2.11.11.10

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

단계 2.11.12

$- 8 x^{4}$ 에서 $112 x^{4}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

단계 2.11.13

$16 x^{2}$ 를 $56 x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 4.1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 4.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 4.1.2

미분합니다.

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단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 4.1.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

단계 4.1.2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

단계 4.1.2.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

단계 4.1.2.4.3

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 입니다.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

단계 5.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

단계 5.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 5.4

${(x^{2} - 1)}^{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

${(x^{2} - 1)}^{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

단계 5.4.2

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.4.2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 5.4.2.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

단계 5.4.2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

단계 5.4.2.1.3

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

단계 5.4.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

단계 5.4.2.3

${(x + 1)}^{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.3.1

${(x + 1)}^{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 1)}^{3} = 0$

단계 5.4.2.3.2

${(x + 1)}^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.3.2.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 5.4.2.3.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 5.4.2.4

${(x - 1)}^{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.4.1

${(x - 1)}^{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 1)}^{3} = 0$

단계 5.4.2.4.2

${(x - 1)}^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.4.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.4.2.4.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.4.2.5

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 1$

단계 5.5

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 1, 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 0, - 1, 1$

단계 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

단계 9.1.2

$56$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

단계 9.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

단계 9.1.4

$- 120$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

단계 9.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

단계 9.1.6

$72$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 0 - 8$

단계 9.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 0 - 8$

단계 9.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 - 8$

단계 9.2.3

$0$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 8$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

단계 11.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

단계 11.2.3

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (0) = 1$

단계 11.2.4

최종 답은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 12

$x = - 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$- 1$ 를 $6$ 승 합니다.

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

단계 13.1.2

$56$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

단계 13.1.3

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

단계 13.1.4

$- 120$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

단계 13.1.5

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

단계 13.1.6

$72$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$56 - 120 + 72 - 8$

단계 13.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$56$ 에서 $120$ 을 뺍니다.

$- 64 + 72 - 8$

단계 13.2.2

$- 64$ 를 $72$ 에 더합니다.

$8 - 8$

단계 13.2.3

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$0$

단계 14

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

단계 14.2

1차 도함수 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 의 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 $- 4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

단계 14.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.2.1

$8$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

단계 14.2.2.2

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

단계 14.2.2.3

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

단계 14.2.2.4

$15$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

단계 14.2.2.5

$- 32$ 에 $3375$ 을 곱합니다.

$f' (- 4) = - 108000$

단계 14.2.2.6

최종 답은 $- 108000$ 입니다.

$- 108000$

단계 14.3

1차 도함수 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 의 $(- 1, 0)$ 구간에서 $- 0.5$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.5$ 을 대입합니다.

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

단계 14.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1

$8$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

단계 14.3.2.2

$- 0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

단계 14.3.2.3

$0.25$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

단계 14.3.2.4

$- 0.75$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

단계 14.3.2.5

$- 4$ 에 $- 0.421875$ 을 곱합니다.

$f' (- 0.5) = 1.6875$

단계 14.3.2.6

최종 답은 $1.6875$ 입니다.

$1.6875$

단계 14.4

1차 도함수 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 의 $(0, 1)$ 구간에서 $0.5$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.5$ 을 대입합니다.

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

단계 14.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.2.1

$8$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

단계 14.4.2.2

$0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

단계 14.4.2.3

$0.25$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

단계 14.4.2.4

$- 0.75$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

단계 14.4.2.5

$4$ 에 $- 0.421875$ 을 곱합니다.

$f' (0.5) = - 1.6875$

단계 14.4.2.6

최종 답은 $- 1.6875$ 입니다.

$- 1.6875$

단계 14.5

1차 도함수 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 의 $(1, \infty)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

단계 14.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.5.2.1

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

단계 14.5.2.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

단계 14.5.2.3

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

단계 14.5.2.4

$15$ 를 $3$ 승 합니다.

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

단계 14.5.2.5

$32$ 에 $3375$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 108000$

단계 14.5.2.6

최종 답은 $108000$ 입니다.

$108000$

단계 14.6

1차 도함수의 부호가 $x = - 1$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = - 1$ 은 극솟값입니다.

$x = - 1$ 은 극소값입니다.

단계 14.7

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = 0$ 은 극댓값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

단계 14.8

1차 도함수의 부호가 $x = 1$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 1$ 은 극솟값입니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 14.9

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ 에 대한 극값입니다.

$x = - 1$ 은 극소값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

$x = 1$ 은 극소값입니다.

$x = - 1$ 은 극소값입니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 15