미적분 예제

극대값 및 극소값 구하기 f(x)=1/x+ x 의 자연로그
단계 1
함수의 1차 도함수를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.1
합의 법칙에 의해 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 1.2
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.2.1
로 바꿔 씁니다.
단계 1.2.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 1.3
에 대해 미분하면입니다.
단계 1.4
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 1.4.1
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 1.4.2
항을 다시 정렬합니다.
단계 2
함수의 2차 도함수를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 2.1
합의 법칙에 의해 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 2.2
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 2.2.1
로 바꿔 씁니다.
단계 2.2.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 2.3.1
, 일 때 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.2
로 바꿔 씁니다.
단계 2.3.3
, 일 때 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 2.3.3.1
연쇄법칙을 적용하기 위해 로 바꿉니다.
단계 2.3.3.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.3.3
를 모두 로 바꿉니다.
단계 2.3.4
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.5
에 대해 일정하므로, 에 대해 미분하면 입니다.
단계 2.3.6
의 지수를 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 2.3.6.1
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 2.3.6.2
을 곱합니다.
단계 2.3.7
을 곱합니다.
단계 2.3.8
승 합니다.
단계 2.3.9
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 2.3.10
에서 을 뺍니다.
단계 2.3.11
을 곱합니다.
단계 2.3.12
을 곱합니다.
단계 2.3.13
에 더합니다.
단계 2.4
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 2.5
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 2.6
을 묶습니다.
단계 3
함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 으로 두고 식을 풉니다.
단계 4
1차 도함수를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1
1차 도함수를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1.1
합의 법칙에 의해 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 4.1.2
의 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1.2.1
로 바꿔 씁니다.
단계 4.1.2.2
일 때 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 4.1.3
에 대해 미분하면입니다.
단계 4.1.4
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 4.1.4.1
음의 지수 법칙 을 활용하여 식을 다시 씁니다.
단계 4.1.4.2
항을 다시 정렬합니다.
단계 4.2
에 대한 1차 도함수는 입니다.
단계 5
1차 도함수가 이 되도록 한 뒤 방정식 을 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.1
1차 도함수가 이 되게 합니다.
단계 5.2
방정식 항의 최소공분모를 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.2.1
여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.
단계 5.2.2
이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 의 최소공배수를 구합니다.
단계 5.2.3
최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.
1. 각 수의 소인수를 나열합니다.
2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.
단계 5.2.4
숫자 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.
소수가 아님
단계 5.2.5
의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.
단계 5.2.6
의 인수는 자신입니다.
번 나타납니다.
단계 5.2.7
의 인수는 이며 번 곱한 값입니다.
번 나타납니다.
단계 5.2.8
의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.
단계 5.2.9
을 곱합니다.
단계 5.3
의 각 항에 을 곱하고 분수를 소거합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.1
의 각 항에 을 곱합니다.
단계 5.3.2
좌변을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.2.1.1
의 공약수로 약분합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.2.1.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 5.3.2.1.1.2
공약수로 약분합니다.
단계 5.3.2.1.1.3
수식을 다시 씁니다.
단계 5.3.2.1.2
의 공약수로 약분합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.2.1.2.1
의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.
단계 5.3.2.1.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 5.3.2.1.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 5.3.3
우변을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 5.3.3.1
을 곱합니다.
단계 5.4
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 6
도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 6.1
식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 의 분모를 와 같게 설정해야 합니다.
단계 6.2
식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 의 분모를 와 같게 설정해야 합니다.
단계 6.3
에 대해 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 6.3.1
좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.
단계 6.3.2
을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 6.3.2.1
로 바꿔 씁니다.
단계 6.3.2.2
양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
단계 6.3.2.3
플러스 마이너스 입니다.
단계 7
계산할 임계점.
단계 8
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 9
이차 미분값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 9.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 9.1.1
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 9.1.2
의 공약수로 약분합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 9.1.2.1
공약수로 약분합니다.
단계 9.1.2.2
수식을 다시 씁니다.
단계 9.1.3
을 곱합니다.
단계 9.1.4
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 9.1.5
로 나눕니다.
단계 9.2
에 더합니다.
단계 10
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
단계 11
일 때 y값을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 11.1
수식에서 변수 을 대입합니다.
단계 11.2
결과를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 11.2.1
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...
단계 11.2.1.1
로 나눕니다.
단계 11.2.1.2
의 자연로그값은 입니다.
단계 11.2.2
에 더합니다.
단계 11.2.3
최종 답은 입니다.
단계 12
에 대한 극값입니다.
은 극솟값임
단계 13