미적분 예제

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

단계 1.4

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x} \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

단계 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

단계 2.2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

단계 2.2.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

단계 2.3.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$e^{x}$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

단계 2.4.2.2

$- 1 e^{x}$ 을 $- e^{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

단계 2.4.2.3

$- e^{x} \sin (x)$ 에서 $e^{x} \sin (x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

단계 2.4.2.4

$- e^{x} \cos (x)$ 를 $\cos (x) e^{x}$ 에 더합니다.

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단계 2.4.2.4.1

$\cos (x)$ 와 $e^{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

단계 2.4.2.4.2

$- e^{x} \cos (x)$ 를 $e^{x} \cos (x)$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

단계 2.4.2.5

$- 2 e^{x} \sin (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

단계 4

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ 을 인수분해합니다.

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단계 4.1

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$- e^{x} \sin (x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

단계 4.1.2

$e^{x} \cos (x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

단계 4.1.3

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

단계 4.2

$- 1 \sin (x)$ 을 $- \sin (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

단계 5

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

단계 6

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 6.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 6.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 6.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 6.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 7

$- \sin (x) + \cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.1

$- \sin (x) + \cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

단계 7.2

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.2.1

방정식의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 7.2.2

분수를 나눕니다.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 7.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 7.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 7.2.5

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 7.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

단계 7.2.6

분수를 나눕니다.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

단계 7.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

단계 7.2.8

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

단계 7.2.9

$0$ 에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

$- \tan (x) + 1 = 0$

단계 7.2.10

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \tan (x) = - 1$

단계 7.2.11

$- \tan (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 7.2.11.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.11.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 7.2.11.2.2

$\tan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

단계 7.2.11.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.11.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\tan (x) = 1$

단계 7.2.12

탄젠트 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 탄젠트의 역을 취합니다.

$x = \arctan (1)$

단계 7.2.13

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.13.1

$\arctan (1)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$x = \frac{π}{4}$

단계 7.2.14

탄젠트 함수는 제1사분면과 제3사분면에서 양의 값을 가집니다. 두번째 해를 구하려면 $π$ 에 기준각을 더하여 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = π + \frac{π}{4}$

단계 7.2.15

$π + \frac{π}{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 7.2.15.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 7.2.15.2

분수를 통분합니다.

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단계 7.2.15.2.1

$π$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

단계 7.2.15.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

단계 7.2.15.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.15.3.1

$π$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

단계 7.2.15.3.2

$4 π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$x = \frac{5 π}{4}$

단계 7.2.16

방정식 $x = \frac{π}{4}$ 의 해.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

단계 8

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

단계 9

$x = \frac{π}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 10.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$- 2 e^{\frac{π}{4}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 10.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

단계 11

이계도함수가 음수이므로 $x = \frac{π}{4}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{π}{4}$ 은 극대값입니다

단계 12

$x = \frac{π}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 12.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

단계 12.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

단계 12.2.2

$e^{\frac{π}{4}}$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

단계 12.2.3

최종 답은 $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

단계 13

$x = \frac{5 π}{4}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

단계 14

이차 미분값을 구합니다.

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단계 14.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

단계 14.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

단계 14.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

단계 14.3.2

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

단계 14.3.3

공약수로 약분합니다.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

단계 14.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

단계 14.4

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

단계 14.4.2

$e^{\frac{5 π}{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

단계 15

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{5 π}{4}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{5 π}{4}$ 은 극소값입니다.

단계 16

$x = \frac{5 π}{4}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5 π}{4}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

단계 16.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

단계 16.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

단계 16.2.3

$e^{\frac{5 π}{4}}$ 와 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

단계 16.2.4

최종 답은 $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

단계 17

$f (x) = e^{x} \cos (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ 은 극댓값임

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ 은 극솟값임

단계 18