미적분 예제

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $a x^{2} + b x + c$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x^{2}$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.2.3

$a$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [b x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $b x$ 의 미분은 $b \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.3.3

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

단계 1.4

$c$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $c$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $c$ 입니다.

$2 a x + b + 0$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2 a x + b$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 a x + b$

단계 1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$b + 2 a x$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $b + 2 a x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (b) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

단계 2.1.2

$b$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $b$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $b$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 a x)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [2 a x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$2 a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 a x$ 의 미분은 $2 a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 + 2 a \cdot 1$

단계 2.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 2 a$

단계 2.3

$0$ 를 $2 a$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 a$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$b + 2 a x = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $a x^{2} + b x + c$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.2.1

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x^{2}$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 4.1.2.3

$a$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [b x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$b$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $b x$ 의 미분은 $b \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

단계 4.1.3.3

$b$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

단계 4.1.4

$c$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $c$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $c$ 입니다.

$2 a x + b + 0$

단계 4.1.5

간단히 합니다.

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단계 4.1.5.1

$2 a x + b$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 a x + b$

단계 4.1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = b + 2 a x$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $b + 2 a x$ 입니다.

$b + 2 a x$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $b + 2 a x = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$b + 2 a x = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $b$ 를 뺍니다.

$2 a x = - b$

단계 5.3

$2 a x = - b$ 의 각 항을 $2 a$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$2 a x = - b$ 의 각 항을 $2 a$ 로 나눕니다.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

단계 5.3.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

단계 5.3.2.2

$a$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

단계 5.3.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- b}{2 a}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{b}{2 a}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = - \frac{b}{2 a}$

단계 8

$x = - \frac{b}{2 a}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$2 a$

단계 9

1차 도함수 판정에 실패했으므로 극값이 없습니다.

극값 없음

단계 10