미적분 예제

$f (x) = 5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 3 x + 1$

단계 1

합의 법칙에 의해 $5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{\frac{4}{3}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2

$n = \frac{4}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.6.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.7

$\frac{4}{3}$ 와 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.8

$5$ 와 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.9

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.7

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.8

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.9

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.10

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.11

공약수로 약분합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.12

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 5.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 + 0$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$

단계 7.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 x - x^{\frac{1}{2}} + \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - 3$