미적분 예제

$f (x) = - 4 x {(x + 2)}^{3}$

단계 1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x {(x + 2)}^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$- 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \cdot 1)$

단계 4.6

${(x + 2)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

단계 5.2

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 12 (x ({(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

단계 5.3

$- 12 x {(x + 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{3}$ 에서 $4 {(x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$- 12 x {(x + 2)}^{2}$ 에서 $4 {(x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) - 4 {(x + 2)}^{3}$

단계 5.3.2

$- 4 {(x + 2)}^{3}$ 에서 $4 {(x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$

단계 5.3.3

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$ 에서 $4 {(x + 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.4

${(x + 2)}^{2}$ 을 $(x + 2) (x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 ((x + 2) (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 2) (x + 2)$ 를 전개합니다.

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단계 5.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.6.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.6.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.6.2

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$4 (x^{2} + 4 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.7

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.8

간단히 합니다.

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단계 5.8.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.8.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - (x + 2))$

단계 5.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 1 \cdot 2)$

단계 5.9.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 2)$

단계 5.10

$- 3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$

단계 5.11

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$ 를 전개합니다.

$4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.12.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 \cdot - 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.12.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.12.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 \cdot - 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.3

$4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.4

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x \cdot x + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.12.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.7

$16$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.8

$- 2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.9

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x + 16 \cdot - 2$

단계 5.12.10

$16$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

단계 5.13

$- 8 x^{2}$ 에서 $64 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

단계 5.14

$- 32 x$ 에서 $64 x$ 을 뺍니다.

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 96 x - 32$