미적분 예제

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

단계 1

$f (y) = y - 1$ , $g (y) = y^{2} - y + 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $y - 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$- 1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.4.2

$y^{2} - y + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $y^{2} - y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.7

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.10

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 2.11

$2 y - 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- y + 1) (2 y - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.4

$- y \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.4.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.5

$2 y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.2

$y$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2

$y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2.2

$y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.3

$y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.2.4

$- y$ 를 $3 y$ 에 더합니다.

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.3

$- y^{2} + 2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2

$2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.3.3

$y (- y) + y \cdot 2$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.4

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.5

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.6

$- (y) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.7

$- (y - 2)$ 을 $- 1 (y - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$