미적분 예제

$f (x) = \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 2

$\frac{x + 1}{x - 1}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 3

$\frac{x - 1}{x + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 4

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.4.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.5

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.8

분수를 통분합니다.

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단계 5.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 5.8.3

$\frac{x - 1}{x + 1}$ 에 $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

단계 6

공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

$(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ 에서 $x - 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 7.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 7.2.1.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 7.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 7.2.3

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$