미적분 예제

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $7 x - 2 x \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [7 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

단계 1.2.3

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x \ln (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 입니다.

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

단계 1.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

단계 1.3.5

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

단계 1.3.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

단계 1.3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

단계 1.3.7

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

단계 1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

단계 1.4.2.2

$7$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$5 - 2 \ln (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $5 - 2 \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

단계 2.1.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \ln (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

단계 2.2.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

단계 2.2.3

$- 2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

단계 2.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

단계 2.3

$0$ 에서 $\frac{2}{x}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $7 x - 2 x \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [7 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

단계 4.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

단계 4.1.2.3

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x \ln (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 입니다.

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

단계 4.1.3.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.1.3.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

단계 4.1.3.5

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

단계 4.1.3.6

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

단계 4.1.3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

단계 4.1.3.7

$\ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

단계 4.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

단계 4.1.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.2.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

단계 4.1.4.2.2

$7$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $5 - 2 \ln (x)$ 입니다.

$5 - 2 \ln (x)$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $5 - 2 \ln (x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$- 2 \ln (x) = - 5$

단계 5.3

$- 2 \ln (x) = - 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 2 \ln (x) = - 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

단계 5.3.2.1.2

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

단계 5.4

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

단계 5.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = \frac{5}{2}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{5}{2}} = x$

단계 5.6

$x = e^{\frac{5}{2}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 6.2

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 7

계산할 임계점.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

단계 8

$x = e^{\frac{5}{2}}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

단계 9

이계도함수가 음수이므로 $x = e^{\frac{5}{2}}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = e^{\frac{5}{2}}$ 은 극대값입니다

단계 10

$x = e^{\frac{5}{2}}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

수식에서 변수 $x$ 에 $e^{\frac{5}{2}}$ 을 대입합니다.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

단계 10.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $\frac{5}{2}$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

단계 10.2.1.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

단계 10.2.1.3

$\frac{5}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

단계 10.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.4.1

$- 2 e^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

단계 10.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

단계 10.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

단계 10.2.1.5

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

단계 10.2.2

$7 e^{\frac{5}{2}}$ 에서 $5 e^{\frac{5}{2}}$ 을 뺍니다.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

단계 10.2.3

최종 답은 $2 e^{\frac{5}{2}}$ 입니다.

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

단계 11

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ 은 극댓값임

단계 12