미적분 예제

$\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} - 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 2.2

$x^{2} - 16$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 16) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 2.5

$- 16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 16$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.3.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.3.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.3.1.2

$2$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.3.2

$2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 6.3.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.3.2.2

$- 32 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

단계 6.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

단계 6.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 4$ 입니다.

$- \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

단계 6.5.3

$(x + 4) (x - 4)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$