미적분 예제

$f (x) = x + \sin (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$1 + \cos (x)$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $1 + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

단계 2.1.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

단계 2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

단계 2.3

$0$ 에서 $\sin (x)$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \sin (x)$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$1 + \cos (x) = 0$

단계 4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\cos (x) = - 1$

단계 5

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- 1)$

단계 6

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\arccos (- 1)$ 의 정확한 값은 $π$ 입니다.

$x = π$

단계 7

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - π$

단계 8

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 9

방정식 $x = π$ 의 해.

$x = π, π$

단계 10

$x = π$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \sin (π)$

단계 11

이차 미분값을 구합니다.

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단계 11.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- \sin (0)$

단계 11.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$- 0$

단계 11.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 12

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

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단계 12.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

단계 12.2

1차 도함수 $1 + \cos (x)$ 의 $(- \infty, π)$ 구간에서 $0$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 12.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

단계 12.2.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 12.2.2.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f' (0) = 1 + 1$

단계 12.2.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = 2$

단계 12.2.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 12.3

1차 도함수 $1 + \cos (x)$ 의 $(π, \infty)$ 구간에서 $6$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

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단계 12.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

단계 12.3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 12.3.2.1

$\cos (6)$ 의 값을 구합니다.

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

단계 12.3.2.2

$1$ 를 $0.96017028$ 에 더합니다.

$f' (6) = 1.96017028$

단계 12.3.2.3

최종 답은 $1.96017028$ 입니다.

$1.96017028$

단계 12.4

1차 도함수의 부호가 $x = π$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 12.5

$f (x) = x + \sin (x)$ 에 대해 극댓값 또는 극솟값 없음.

극댓값 또는 극솟값 없음

단계 13