미적분 예제

$u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 1.1.2

$100 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $100 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $100 x$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d y} [40 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$40$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $40 y$ 의 미분은 $40 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 1.2.3

$40$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 1.3

$- 5 x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 5 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 5 x^{2}$ 입니다.

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

단계 1.4.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 + 40 + 0 - 4 y$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

$0$ 를 $40$ 에 더합니다.

$40 + 0 - 4 y$

단계 1.5.1.2

$40$ 를 $0$ 에 더합니다.

$40 - 4 y$

단계 1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 y + 40$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 4 y + 40$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [40]$ 가 됩니다.

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (- 4 y) + \frac{d}{d y} (40)$

단계 2.2

$\frac{d}{d y} [- 4 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 4$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 4 y$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$u'' (y) = - 4 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (40)$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$u'' (y) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (40)$

단계 2.2.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u'' (y) = - 4 + \frac{d}{d y} (40)$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$40$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $40$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $40$ 입니다.

$u'' (y) = - 4 + 0$

단계 2.3.2

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u'' (y) = - 4$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- 4 y + 40 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 4.1.1.2

$100 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $100 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $100 x$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d y} [40 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$40$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $40 y$ 의 미분은 $40 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 4.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 4.1.2.3

$40$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 4.1.3

$- 5 x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- 5 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- 5 x^{2}$ 입니다.

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

단계 4.1.4

$\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 4.1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

단계 4.1.4.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 + 40 + 0 - 4 y$

단계 4.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1.1

$0$ 를 $40$ 에 더합니다.

$40 + 0 - 4 y$

단계 4.1.5.1.2

$40$ 를 $0$ 에 더합니다.

$40 - 4 y$

단계 4.1.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (y) = - 4 y + 40$

단계 4.2

$u (y)$ 의 $y$ 에 대한 1차 도함수는 $- 4 y + 40$ 입니다.

$- 4 y + 40$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 4 y + 40 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 4 y + 40 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $40$ 를 뺍니다.

$- 4 y = - 40$

단계 5.3

$- 4 y = - 40$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 4 y = - 40$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

단계 5.3.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 40}{- 4}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 40$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$y = 10$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$y = 10$

단계 8

$y = 10$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- 4$

단계 9

이계도함수가 음수이므로 $y = 10$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$y = 10$ 은 극대값입니다

단계 10

$y = 10$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

수식에서 변수 $y$ 에 $10$ 을 대입합니다.

$u (10) = 100 x + 40 (10) - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

단계 10.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1.1

$40$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

단계 10.2.1.2

$10$ 를 $2$ 승 합니다.

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 \cdot 100$

단계 10.2.1.3

$- 2$ 에 $100$ 을 곱합니다.

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 200$

단계 10.2.2

$400$ 에서 $200$ 을 뺍니다.

$u (10) = 100 x - 5 x^{2} + 200$

단계 10.2.3

최종 답은 $100 x - 5 x^{2} + 200$ 입니다.

$y = 100 x - 5 x^{2} + 200$

단계 11

$u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ 에 대한 극값입니다.

$(10, 100 x - 5 x^{2} + 200)$ 은 극댓값임

단계 12