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미적분 예제
단계 1
을 함수로 씁니다.
단계 2
단계 2.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 2.2
의 값을 구합니다.
단계 2.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2.3
와 을 묶습니다.
단계 2.2.4
와 을 묶습니다.
단계 2.2.5
의 공약수로 약분합니다.
단계 2.2.5.1
공약수로 약분합니다.
단계 2.2.5.2
을 로 나눕니다.
단계 2.3
의 값을 구합니다.
단계 2.3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.3.3
에 을 곱합니다.
단계 2.4
의 값을 구합니다.
단계 2.4.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.4.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.4.3
에 을 곱합니다.
단계 2.5
상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.5.1
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 2.5.2
를 에 더합니다.
단계 3
단계 3.1
미분합니다.
단계 3.1.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 3.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.2
의 값을 구합니다.
단계 3.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 3.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.2.3
에 을 곱합니다.
단계 3.3
상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.3.1
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 3.3.2
를 에 더합니다.
단계 4
함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 으로 두고 식을 풉니다.
단계 5
단계 5.1
1차 도함수를 구합니다.
단계 5.1.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 5.1.2
의 값을 구합니다.
단계 5.1.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.1.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.2.3
와 을 묶습니다.
단계 5.1.2.4
와 을 묶습니다.
단계 5.1.2.5
의 공약수로 약분합니다.
단계 5.1.2.5.1
공약수로 약분합니다.
단계 5.1.2.5.2
을 로 나눕니다.
단계 5.1.3
의 값을 구합니다.
단계 5.1.3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.1.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.3.3
에 을 곱합니다.
단계 5.1.4
의 값을 구합니다.
단계 5.1.4.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.1.4.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.4.3
에 을 곱합니다.
단계 5.1.5
상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.5.1
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
단계 5.1.5.2
를 에 더합니다.
단계 5.2
의 에 대한 1차 도함수는 입니다.
단계 6
단계 6.1
1차 도함수가 이 되게 합니다.
단계 6.2
AC 방법을 이용하여 를 인수분해합니다.
단계 6.2.1
형태를 이용합니다. 곱이 이고 합이 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 이고 합은 입니다.
단계 6.2.2
이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.
단계 6.3
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 6.4
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 6.4.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 6.4.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 6.5
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 6.5.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 6.5.2
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 6.6
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 7
단계 7.1
식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.
단계 8
계산할 임계점.
단계 9
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 10
단계 10.1
에 을 곱합니다.
단계 10.2
에서 을 뺍니다.
단계 11
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
단계 12
단계 12.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 12.2
결과를 간단히 합니다.
단계 12.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 12.2.1.1
의 공약수로 약분합니다.
단계 12.2.1.1.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 12.2.1.1.2
공약수로 약분합니다.
단계 12.2.1.1.3
수식을 다시 씁니다.
단계 12.2.1.2
를 승 합니다.
단계 12.2.1.3
를 승 합니다.
단계 12.2.1.4
에 을 곱합니다.
단계 12.2.1.5
에 을 곱합니다.
단계 12.2.2
더하고 빼서 식을 간단히 합니다.
단계 12.2.2.1
에서 을 뺍니다.
단계 12.2.2.2
를 에 더합니다.
단계 12.2.2.3
를 에 더합니다.
단계 12.2.3
최종 답은 입니다.
단계 13
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 14
단계 14.1
에 을 곱합니다.
단계 14.2
에서 을 뺍니다.
단계 15
이계도함수가 음수이므로 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극대값입니다
단계 16
단계 16.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 16.2
결과를 간단히 합니다.
단계 16.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 16.2.1.1
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 16.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 16.2.1.3
1의 모든 거듭제곱은 1입니다.
단계 16.2.1.4
에 을 곱합니다.
단계 16.2.1.5
에 을 곱합니다.
단계 16.2.2
공통분모를 구합니다.
단계 16.2.2.1
를 분모가 인 분수로 표현합니다.
단계 16.2.2.2
에 을 곱합니다.
단계 16.2.2.3
에 을 곱합니다.
단계 16.2.2.4
를 분모가 인 분수로 표현합니다.
단계 16.2.2.5
에 을 곱합니다.
단계 16.2.2.6
에 을 곱합니다.
단계 16.2.2.7
를 분모가 인 분수로 표현합니다.
단계 16.2.2.8
에 을 곱합니다.
단계 16.2.2.9
에 을 곱합니다.
단계 16.2.3
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 16.2.4
각 항을 간단히 합니다.
단계 16.2.4.1
에 을 곱합니다.
단계 16.2.4.2
에 을 곱합니다.
단계 16.2.4.3
에 을 곱합니다.
단계 16.2.5
더하고 빼서 식을 간단히 합니다.
단계 16.2.5.1
에서 을 뺍니다.
단계 16.2.5.2
를 에 더합니다.
단계 16.2.5.3
를 에 더합니다.
단계 16.2.6
최종 답은 입니다.
단계 17
에 대한 극값입니다.
은 극솟값임
은 극댓값임
단계 18