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미적분 예제
단계 1
을 함수로 씁니다.
단계 2
단계 2.1
미분합니다.
단계 2.1.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 2.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2
의 값을 구합니다.
단계 2.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 2.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 2.2.3
에 을 곱합니다.
단계 3
단계 3.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 3.2
의 값을 구합니다.
단계 3.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 3.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.2.3
에 을 곱합니다.
단계 3.3
의 값을 구합니다.
단계 3.3.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 3.3.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 3.3.3
에 을 곱합니다.
단계 4
함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 으로 두고 식을 풉니다.
단계 5
단계 5.1
1차 도함수를 구합니다.
단계 5.1.1
미분합니다.
단계 5.1.1.1
합의 법칙에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
단계 5.1.1.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.2
의 값을 구합니다.
단계 5.1.2.1
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
단계 5.1.2.2
일 때 는 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.
단계 5.1.2.3
에 을 곱합니다.
단계 5.2
의 에 대한 1차 도함수는 입니다.
단계 6
단계 6.1
1차 도함수가 이 되게 합니다.
단계 6.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 6.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 6.2.2
에서 를 인수분해합니다.
단계 6.2.3
에서 를 인수분해합니다.
단계 6.3
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
단계 6.4
를 와 같다고 둡니다.
단계 6.5
이 가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
단계 6.5.1
를 와 같다고 둡니다.
단계 6.5.2
을 에 대해 풉니다.
단계 6.5.2.1
방정식의 양변에 를 더합니다.
단계 6.5.2.2
의 각 항을 로 나누고 식을 간단히 합니다.
단계 6.5.2.2.1
의 각 항을 로 나눕니다.
단계 6.5.2.2.2
좌변을 간단히 합니다.
단계 6.5.2.2.2.1
의 공약수로 약분합니다.
단계 6.5.2.2.2.1.1
공약수로 약분합니다.
단계 6.5.2.2.2.1.2
을 로 나눕니다.
단계 6.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
단계 6.5.2.4
을 간단히 합니다.
단계 6.5.2.4.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 6.5.2.4.2
에 을 곱합니다.
단계 6.5.2.4.3
분모를 결합하고 간단히 합니다.
단계 6.5.2.4.3.1
에 을 곱합니다.
단계 6.5.2.4.3.2
를 승 합니다.
단계 6.5.2.4.3.3
를 승 합니다.
단계 6.5.2.4.3.4
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
단계 6.5.2.4.3.5
를 에 더합니다.
단계 6.5.2.4.3.6
을 로 바꿔 씁니다.
단계 6.5.2.4.3.6.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 6.5.2.4.3.6.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 6.5.2.4.3.6.3
와 을 묶습니다.
단계 6.5.2.4.3.6.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 6.5.2.4.3.6.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 6.5.2.4.3.6.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 6.5.2.4.3.6.5
지수값을 계산합니다.
단계 6.5.2.4.4
분자를 간단히 합니다.
단계 6.5.2.4.4.1
근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.
단계 6.5.2.4.4.2
에 을 곱합니다.
단계 6.5.2.5
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
단계 6.5.2.5.1
먼저, 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.
단계 6.5.2.5.2
그 다음 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.
단계 6.5.2.5.3
해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.
단계 6.6
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
단계 7
단계 7.1
식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.
단계 8
계산할 임계점.
단계 9
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 10
단계 10.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 10.1.1
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 10.1.2
에 을 곱합니다.
단계 10.2
에서 을 뺍니다.
단계 11
이계도함수가 음수이므로 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극대값입니다
단계 12
단계 12.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 12.2
결과를 간단히 합니다.
단계 12.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 12.2.1.1
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 12.2.1.2
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
단계 12.2.1.3
에 을 곱합니다.
단계 12.2.2
를 에 더합니다.
단계 12.2.3
최종 답은 입니다.
단계 13
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 14
단계 14.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 14.1.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 14.1.2
을 로 바꿔 씁니다.
단계 14.1.2.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 14.1.2.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 14.1.2.3
와 을 묶습니다.
단계 14.1.2.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 14.1.2.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 14.1.2.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 14.1.2.5
지수값을 계산합니다.
단계 14.1.3
를 승 합니다.
단계 14.1.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 14.1.4.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 14.1.4.2
공약수로 약분합니다.
단계 14.1.4.3
수식을 다시 씁니다.
단계 14.1.5
에 을 곱합니다.
단계 14.2
에서 을 뺍니다.
단계 15
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
단계 16
단계 16.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 16.2
결과를 간단히 합니다.
단계 16.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 16.2.1.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 16.2.1.2
분자를 간단히 합니다.
단계 16.2.1.2.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 16.2.1.2.1.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 16.2.1.2.1.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 16.2.1.2.1.3
와 을 묶습니다.
단계 16.2.1.2.1.4
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.2.1.4.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 16.2.1.2.1.4.2
공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.2.1.4.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 16.2.1.2.1.4.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.2.1.4.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 16.2.1.2.1.4.2.4
을 로 나눕니다.
단계 16.2.1.2.2
를 승 합니다.
단계 16.2.1.3
를 승 합니다.
단계 16.2.1.4
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.4.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 16.2.1.4.2
공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.4.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 16.2.1.4.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.4.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 16.2.1.5
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 16.2.1.6
을 로 바꿔 씁니다.
단계 16.2.1.6.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 16.2.1.6.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 16.2.1.6.3
와 을 묶습니다.
단계 16.2.1.6.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.6.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.6.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 16.2.1.6.5
지수값을 계산합니다.
단계 16.2.1.7
를 승 합니다.
단계 16.2.1.8
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.8.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 16.2.1.8.2
공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.8.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 16.2.1.8.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 16.2.1.8.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 16.2.1.9
을 곱합니다.
단계 16.2.1.9.1
와 을 묶습니다.
단계 16.2.1.9.2
에 을 곱합니다.
단계 16.2.1.10
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 16.2.2
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 16.2.3
각 수식에 적절한 인수 을 곱하여 수식의 분모가 모두 이 되도록 식을 씁니다.
단계 16.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 16.2.3.2
에 을 곱합니다.
단계 16.2.4
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 16.2.5
분자를 간단히 합니다.
단계 16.2.5.1
에 을 곱합니다.
단계 16.2.5.2
에서 을 뺍니다.
단계 16.2.6
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 16.2.7
최종 답은 입니다.
단계 17
에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.
단계 18
단계 18.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 18.1.1
지수 법칙 을 이용하여 지수를 분배합니다.
단계 18.1.1.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 18.1.1.2
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 18.1.2
를 승 합니다.
단계 18.1.3
에 을 곱합니다.
단계 18.1.4
을 로 바꿔 씁니다.
단계 18.1.4.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 18.1.4.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 18.1.4.3
와 을 묶습니다.
단계 18.1.4.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 18.1.4.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 18.1.4.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 18.1.4.5
지수값을 계산합니다.
단계 18.1.5
를 승 합니다.
단계 18.1.6
의 공약수로 약분합니다.
단계 18.1.6.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 18.1.6.2
공약수로 약분합니다.
단계 18.1.6.3
수식을 다시 씁니다.
단계 18.1.7
에 을 곱합니다.
단계 18.2
에서 을 뺍니다.
단계 19
이계도함수가 양수이므로 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.
은 극소값입니다.
단계 20
단계 20.1
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
단계 20.2
결과를 간단히 합니다.
단계 20.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 20.2.1.1
지수 법칙 을 이용하여 지수를 분배합니다.
단계 20.2.1.1.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 20.2.1.1.2
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 20.2.1.2
를 승 합니다.
단계 20.2.1.3
에 을 곱합니다.
단계 20.2.1.4
분자를 간단히 합니다.
단계 20.2.1.4.1
을 로 바꿔 씁니다.
단계 20.2.1.4.1.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 20.2.1.4.1.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 20.2.1.4.1.3
와 을 묶습니다.
단계 20.2.1.4.1.4
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.4.1.4.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 20.2.1.4.1.4.2
공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.4.1.4.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 20.2.1.4.1.4.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.4.1.4.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 20.2.1.4.1.4.2.4
을 로 나눕니다.
단계 20.2.1.4.2
를 승 합니다.
단계 20.2.1.5
를 승 합니다.
단계 20.2.1.6
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.6.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 20.2.1.6.2
공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.6.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 20.2.1.6.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.6.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 20.2.1.7
지수 법칙 을 이용하여 지수를 분배합니다.
단계 20.2.1.7.1
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 20.2.1.7.2
에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.
단계 20.2.1.8
를 승 합니다.
단계 20.2.1.9
에 을 곱합니다.
단계 20.2.1.10
을 로 바꿔 씁니다.
단계 20.2.1.10.1
을(를) 사용하여 을(를) (으)로 다시 씁니다.
단계 20.2.1.10.2
멱의 법칙을 적용하여 과 같이 지수를 곱합니다.
단계 20.2.1.10.3
와 을 묶습니다.
단계 20.2.1.10.4
의 공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.10.4.1
공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.10.4.2
수식을 다시 씁니다.
단계 20.2.1.10.5
지수값을 계산합니다.
단계 20.2.1.11
를 승 합니다.
단계 20.2.1.12
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.12.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 20.2.1.12.2
공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.12.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 20.2.1.12.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 20.2.1.12.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 20.2.1.13
을 곱합니다.
단계 20.2.1.13.1
와 을 묶습니다.
단계 20.2.1.13.2
에 을 곱합니다.
단계 20.2.1.14
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 20.2.2
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 20.2.3
각 수식에 적절한 인수 을 곱하여 수식의 분모가 모두 이 되도록 식을 씁니다.
단계 20.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 20.2.3.2
에 을 곱합니다.
단계 20.2.4
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 20.2.5
분자를 간단히 합니다.
단계 20.2.5.1
에 을 곱합니다.
단계 20.2.5.2
에서 을 뺍니다.
단계 20.2.6
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 20.2.7
최종 답은 입니다.
단계 21
에 대한 극값입니다.
은 극댓값임
은 극솟값임
은 극솟값임
단계 22