미적분 예제

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{- 4}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 1.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$x^{- 4}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 1.3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 1.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 1.4.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 1.5

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

단계 1.6.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

단계 1.6.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

단계 1.6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

단계 1.6.2.4

$\ln (x)$ 와 $\frac{4}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

단계 1.6.2.5

$\ln (x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.5

$x^{5}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.6

$x^{5}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.6.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.6.2.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.6.2.5

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.7

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.8

${(x^{5})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.8.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.8.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.9

$x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.9.1

$1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.9.2

$- 5 \ln (x) x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.9.3

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.10

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.1

$x^{10}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.10.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.10.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.11

$- 4$ 와 $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{x^{5}}$ 을 ${(x^{5})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

단계 2.3.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

단계 2.3.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

단계 2.3.4

${(x^{5})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

단계 2.3.4.2

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

단계 2.3.5

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

단계 2.3.6

지수를 더하여 $x^{- 10}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

단계 2.3.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

단계 2.3.6.3

$4$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

단계 2.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

단계 2.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

단계 2.4.3.2

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

단계 2.4.3.3

$- 5$ 와 $\frac{1}{x^{6}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

단계 2.4.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

단계 2.4.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

단계 2.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

단계 2.4.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.1

$- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.5.1.1

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

단계 2.4.5.1.2

$- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

단계 2.4.5.1.3

$- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ 을 $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

단계 2.4.5.2

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

단계 2.4.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 4.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 4.1.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$x^{- 4}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 4.1.3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 4.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 4.1.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 4.1.4.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 4.1.5

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

단계 4.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

단계 4.1.6.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

단계 4.1.6.2.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

단계 4.1.6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

단계 4.1.6.2.4

$\ln (x)$ 와 $\frac{4}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

단계 4.1.6.2.5

$\ln (x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ 입니다.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $\frac{1}{x^{5}}$ 를 뺍니다.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

단계 5.3

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$- 4 \ln (x) = - 1$

단계 5.4

$- 4 \ln (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 4 \ln (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

단계 5.4.2.1.2

$\ln (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

단계 5.5

$x$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

단계 5.6

로그의 정의를 이용하여 $\ln (x) = \frac{1}{4}$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{1}{4}} = x$

단계 5.7

$x = e^{\frac{1}{4}}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{5} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[5]{0}$

단계 6.2.2

$\sqrt[5]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 을 $0^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

단계 6.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 6.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\ln (x)$ 의 진수를 $0$ 보다 같거나 작게 설정해야 합니다.

$x \leq 0$

단계 6.4

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

단계 7

계산할 임계점.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

단계 8

$x = e^{\frac{1}{4}}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $\frac{1}{4}$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

단계 9.1.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

단계 9.1.3

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

단계 9.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.4.1

$- 20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

단계 9.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

단계 9.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

단계 9.1.5

$9$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

단계 9.2

${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

단계 9.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

단계 9.2.2.2

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

단계 9.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

단계 9.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

단계 9.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

단계 10

이계도함수가 음수이므로 $x = e^{\frac{1}{4}}$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = e^{\frac{1}{4}}$ 은 극대값입니다

단계 11

$x = e^{\frac{1}{4}}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $e^{\frac{1}{4}}$ 을 대입합니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

단계 11.2.1.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

단계 11.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

단계 11.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

단계 11.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

단계 11.2.3

로그 공식을 이용해 지수에서 $\frac{1}{4}$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

단계 11.2.4

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

단계 11.2.5

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

단계 11.2.6

$\frac{1}{e}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

단계 11.2.7

$e$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

단계 11.2.8

최종 답은 $\frac{1}{4 e}$ 입니다.

$y = \frac{1}{4 e}$

단계 12

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ 에 대한 극값입니다.

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ 은 극댓값임

단계 13