미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Step 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 8 x$

Step 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 8 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

Step 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Step 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2}$

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x)$

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 x^{3} - 8 x$ 입니다.

$4 x^{3} - 8 x$

Step 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 x^{3} - 8 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

$4 x^{3} - 8 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4 x^{3}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

$- 8 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

$x^{2} - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$x^{2} - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x^{2} = 2$

방정식의 양변에 제곱근을 취하여 좌변의 지수를 소거합니다.

$x = \pm \sqrt{2}$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$4 x (x^{2} - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

Step 7

계산할 임계점.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 8

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(0)}^{2} - 8$

Step 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$12 \cdot 0 - 8$

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - 8$

$0$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 8$

Step 10

이계도함수가 음수이므로 $x = 0$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 0$ 은 극대값입니다

Step 11

$x = 0$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

최종 답은 $0$ 입니다.

$y = 0$

Step 12

$x = \sqrt{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

수식을 다시 씁니다.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

지수값을 계산합니다.

$12 \cdot 2 - 8$

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 - 8$

$24$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$16$

Step 14

이계도함수가 양수이므로 $x = \sqrt{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \sqrt{2}$ 은 극소값입니다.

Step 15

$x = \sqrt{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $\sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

${\sqrt{2}}^{4}$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

공약수로 약분합니다.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

수식을 다시 씁니다.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

수식을 다시 씁니다.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

지수값을 계산합니다.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (\sqrt{2}) = - 4$

최종 답은 $- 4$ 입니다.

$y = - 4$

Step 16

$x = - \sqrt{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

${\sqrt{2}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

수식을 다시 씁니다.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

지수값을 계산합니다.

$12 \cdot 2 - 8$

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 - 8$

$24$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$16$

Step 18

이계도함수가 양수이므로 $x = - \sqrt{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - \sqrt{2}$ 은 극소값입니다.

Step 19

$x = - \sqrt{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

수식에서 변수 $x$ 에 $- \sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

${\sqrt{2}}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

${\sqrt{2}}^{4}$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

공약수로 약분합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

수식을 다시 씁니다.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

$- \sqrt{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

${\sqrt{2}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

공약수로 약분합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

수식을 다시 씁니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

지수값을 계산합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

$4$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

최종 답은 $- 4$ 입니다.

$y = - 4$

Step 20

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ 에 대한 극값입니다.

$(0, 0)$ 은 극댓값임

$(\sqrt{2}, - 4)$ 은 극솟값임

$(- \sqrt{2}, - 4)$ 은 극솟값임

Step 21