미적분 예제

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.3.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 1.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 1.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 1.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 1.3.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 1.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 1.3.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.3.9

$- 36$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 1.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.3.11

$- 36$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.3.12

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.12.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

단계 1.3.12.2

공약수로 약분합니다.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

단계 2.1.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{2}{3}}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

단계 2.2.4

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.2.5

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.2.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.2.5.2.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

단계 2.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

단계 2.2.7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 2.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

단계 2.2.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

단계 2.2.9.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

단계 2.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

단계 2.2.11

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

단계 2.2.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 와 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

단계 2.2.13

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{3}}$ 에 $x^{- \frac{4}{3}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.13.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

단계 2.2.13.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

단계 2.2.13.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

단계 2.2.13.4

$- 4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

단계 2.2.13.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

단계 2.2.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{5}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

단계 2.2.15

$- 1$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + 12 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

단계 2.2.16

$12$ 와 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{12 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 2.2.17

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{24}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 2.2.18

$24$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 2.2.19

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.19.1

$3 x^{\frac{5}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

단계 2.2.19.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

단계 2.2.19.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 0 + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 - 36 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

단계 4.1.3.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 4.1.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 4.1.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 4.1.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 4.1.3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 4.1.3.6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 4.1.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 4.1.3.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 4.1.3.9

$- 36$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = 3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 4.1.3.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = 3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.1.3.11

$- 36$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.1.3.12

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.12.1

$3 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

단계 4.1.3.12.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.1.3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = 3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.1.3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 입니다.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

단계 5.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

단계 5.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x^{\frac{2}{3}}$

단계 5.4

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ 의 각 항에 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ 의 각 항에 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$x^{\frac{2}{3}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

단계 5.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

단계 5.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

단계 5.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

단계 5.5.2

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

단계 5.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

단계 5.5.2.2.2

$x^{\frac{2}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

단계 5.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.3.1

$- 12$ 을 $- 3$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

단계 5.5.3

좌변의 분수 지수를 없애기 위해 방정식의 각 변을 $\frac{3}{2}$ 승합니다.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

단계 5.5.4

지수를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

단계 5.5.4.1.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

단계 5.5.4.1.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

단계 5.5.4.1.1.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

단계 5.5.4.1.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

단계 5.5.4.1.1.2

간단히 합니다.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

단계 5.5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1

$\pm 4^{\frac{3}{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

단계 5.5.4.2.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 5.5.4.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 5.5.4.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm 2^{3}$

단계 5.5.4.2.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$x = \pm 8$

단계 5.5.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 8$

단계 5.5.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 8$

단계 5.5.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 8, - 8$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

단계 6.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

단계 6.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

단계 6.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 6.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 6.3.2.2.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 6.3.2.2.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = 0^{3}$

단계 6.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x^{2} = 0$

단계 6.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 6.3.3.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 6.3.3.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 6.3.3.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 8, - 8, 0$

단계 8

$x = 8$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{8}{{(8)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $8^{1}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{{(8)}^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{- 1}}$

단계 9.2

지수를 더하여 ${(8)}^{\frac{5}{3}}$ 에 $8^{- 1}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1}}$

단계 9.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

단계 9.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

단계 9.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}}$

단계 9.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 3}{3}}}$

단계 9.2.5.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

단계 9.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

단계 9.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

단계 9.3.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

단계 9.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2^{2}}$

단계 9.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4}$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 8$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 8$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 8$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f (8) = 3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (8) = 24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

단계 11.2.1.2

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (8) = 24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

단계 11.2.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 11.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 11.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

단계 11.2.1.5

지수값을 계산합니다.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

단계 11.2.1.6

$- 36$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (8) = 24 - 72$

단계 11.2.2

$24$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$f (8) = - 48$

단계 11.2.3

최종 답은 $- 48$ 입니다.

$y = - 48$

단계 12

$x = - 8$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{8}{{(- 8)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 13

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$- 8$ 을 ${(- 2)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8}{{({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

단계 13.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

단계 13.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

단계 13.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8}{{(- 2)}^{5}}$

단계 13.1.4

$- 2$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{8}{- 32}$

단계 13.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$8$ 및 $- 32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.1

$8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (1)}{- 32}$

단계 13.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1.2.1

$- 32$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

단계 13.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

단계 13.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{- 4}$

단계 13.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4}$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = - 8$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 8$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = - 8$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 8$ 을 대입합니다.

$f (- 8) = 3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

단계 15.2.1.2

$- 8$ 을 ${(- 2)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 8) = - 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

단계 15.2.1.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 15.2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 15.2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

단계 15.2.1.5

지수값을 계산합니다.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

단계 15.2.1.6

$- 36$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 8) = - 24 + 72$

단계 15.2.2

$- 24$ 를 $72$ 에 더합니다.

$f (- 8) = 48$

단계 15.2.3

최종 답은 $48$ 입니다.

$y = 48$

단계 16

$x = 0$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{8}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

단계 17

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

단계 17.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

단계 17.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

단계 17.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8}{0^{5}}$

단계 17.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{8}{0}$

단계 17.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 18

$0$ 는 점이 한 개 이상이거나 2차 도함수가 정의되어 있지 않으므로 1차 도함수 판정을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

1차 미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

단계 18.2

1차 도함수 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 의 $(- \infty, - 8)$ 구간에서 $- 10$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 10$ 을 대입합니다.

$f' (- 10) = 3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.2.2

최종 답은 $3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ 입니다.

$3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.3

1차 도함수 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 의 $(- 8, 0)$ 구간에서 $- 4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f' (- 4) = 3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.3.2

최종 답은 $3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 입니다.

$3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.4

1차 도함수 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 의 $(0, 8)$ 구간에서 $4$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.4.2.2

최종 답은 $3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$ 입니다.

$3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.5

1차 도함수 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 의 $(8, \infty)$ 구간에서 $10$ 와 같은 임의의 숫자를 대입하여 결과값이 음수인지 양수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $10$ 을 대입합니다.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{{(10)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.5.2.1

괄호를 제거합니다.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.5.2.2

최종 답은 $3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$ 입니다.

$3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

단계 18.6

1차 도함수의 부호가 $x = - 8$ 근처에서 양수에서 음수로 변경되었으므로 $x = - 8$ 은 극댓값입니다.

$x = - 8$ 은 극대값입니다

단계 18.7

1차 도함수의 부호가 $x = 0$ 근처에서 변하지 않았으므로 극솟값도 극댓값도 아닙니다.

극댓값 또는 극솟값이 아님

단계 18.8

1차 도함수의 부호가 $x = 8$ 근처에서 음수에서 양수로 변경되었으므로 $x = 8$ 은 극솟값입니다.

$x = 8$ 은 극소값입니다.

단계 18.9

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ 에 대한 극값입니다.

$x = - 8$ 은 극대값입니다

$x = 8$ 은 극소값입니다.

$x = - 8$ 은 극대값입니다

$x = 8$ 은 극소값입니다.

단계 19