미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 24 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

단계 1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} - 24 \cdot 1$

단계 1.3.3

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} - 24$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 x^{2} - 24$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 2.2.3

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 24)$

단계 2.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

$- 24$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 24$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 24$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x + 0$

단계 2.3.2

$12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$6 x^{2} - 24 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 24 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

단계 4.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

단계 4.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$- 24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 24 x$ 의 미분은 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} - 24 \cdot 1$

단계 4.1.3.3

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{2} - 24$ 입니다.

$6 x^{2} - 24$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} - 24 = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x^{2} - 24 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $24$ 를 더합니다.

$6 x^{2} = 24$

단계 5.3

$6 x^{2} = 24$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$6 x^{2} = 24$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{24}{6}$

단계 5.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{24}{6}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

$24$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 4$

단계 5.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{4}$

단계 5.5

$\pm \sqrt{4}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

단계 5.5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 2$

단계 5.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 5.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 2$

단계 5.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 2$

단계 5.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 2, - 2$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = 2, - 2$

단계 8

$x = 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 (2)$

단계 9

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 2$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 2$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 2$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 24 \cdot 2$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1.1

지수를 더하여 $2$ 에 ${(2)}^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 11.2.1.1.1

$2$ 에 ${(2)}^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 11.2.1.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} - 24 \cdot 2$

단계 11.2.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (2) = 2^{1 + 3} - 24 \cdot 2$

단계 11.2.1.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (2) = 2^{4} - 24 \cdot 2$

단계 11.2.1.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 24 \cdot 2$

단계 11.2.1.3

$- 24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (2) = 16 - 48$

단계 11.2.2

$16$ 에서 $48$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 32$

단계 11.2.3

최종 답은 $- 32$ 입니다.

$y = - 32$

단계 12

$x = - 2$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$12 (- 2)$

단계 13

$12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 24$

단계 14

이계도함수가 음수이므로 $x = - 2$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 2$ 은 극대값입니다

단계 15

$x = - 2$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 15.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} - 24 \cdot - 2$

단계 15.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1.1

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 - 24 \cdot - 2$

단계 15.2.1.2

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 16 - 24 \cdot - 2$

단계 15.2.1.3

$- 24$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 16 + 48$

단계 15.2.2

$- 16$ 를 $48$ 에 더합니다.

$f (- 2) = 32$

단계 15.2.3

최종 답은 $32$ 입니다.

$y = 32$

단계 16

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x$ 에 대한 극값입니다.

$(2, - 32)$ 은 극솟값임

$(- 2, 32)$ 은 극댓값임

단계 17