미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x$

단계 1

곱하여 분자를 유리화합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

FOIL 계산법을 이용하여 분자를 전개합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

단계 2.2

간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

단계 2.2.2

$2 x + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

단계 3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.1.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}$

단계 3.1.1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 3.1.1.3

다항식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}$

단계 3.1.1.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

단계 3.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

단계 3.2

항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

단계 3.2.2

$2 x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

단계 3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} 1$

단계 4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$1$