미적분 예제

${(e^{- t} + e^{t})}^{3}$

단계 1

$f (t) = t^{3}$ , $g (t) = e^{- t} + e^{t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{- t} + e^{t}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{- t} + e^{t}$ 로 바꿉니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{- t} + e^{t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ 가 됩니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 3

$f (t) = e^{t}$ , $g (t) = - t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- t$ 로 바꿉니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $- t$ 로 바꿉니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- t$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 4.3.2

$e^{- t}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 4.3.3

$- 1 e^{- t}$ 을 $- e^{- t}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

${(e^{- t} + e^{t})}^{2}$ 을 $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ 로 바꿔 씁니다.

$3 ((e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ 를 전개합니다.

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단계 6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (e^{- t} (e^{- t} + e^{t}) + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

지수를 더하여 $e^{- t}$ 에 $e^{- t}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (e^{- t - t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.1.1.2

$- t$ 에서 $t$ 을 뺍니다.

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.1.2

지수를 더하여 $e^{- t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t + t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.1.2.2

$- t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$3 (e^{- 2 t} + e^{0} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.1.3

$e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.1.4

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{- t}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t - t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.1.4.2

$t$ 에서 $t$ 을 뺍니다.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{0} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.1.5

$e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.1.6

지수를 더하여 $e^{t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t + t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.1.6.2

$t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 (e^{- 2 t} + 2 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 e^{- 2 t} + 3 \cdot 2 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

단계 6.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$ 를 전개합니다.

$3 e^{- 2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 \cdot - 1 e^{- 2 t} e^{- t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.2

지수를 더하여 $e^{- 2 t}$ 에 $e^{- t}$ 을 곱합니다.

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단계 6.7.2.1

$e^{- t}$ 를 옮깁니다.

$3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- 2 t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 \cdot - 1 e^{- t - 2 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.2.3

$- t$ 에서 $2 t$ 을 뺍니다.

$3 \cdot - 1 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.4

지수를 더하여 $e^{- 2 t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

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단계 6.7.4.1

$e^{t}$ 를 옮깁니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 (e^{t} e^{- 2 t}) + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{t - 2 t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.4.3

$t$ 에서 $2 t$ 을 뺍니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.5

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{2 t} e^{- t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.7

지수를 더하여 $e^{2 t}$ 에 $e^{- t}$ 을 곱합니다.

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단계 6.7.7.1

$e^{- t}$ 를 옮깁니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{2 t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{- t + 2 t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.7.3

$- t$ 를 $2 t$ 에 더합니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.8

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

단계 6.7.9

지수를 더하여 $e^{2 t}$ 에 $e^{t}$ 을 곱합니다.

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단계 6.7.9.1

$e^{t}$ 를 옮깁니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 (e^{t} e^{2 t})$

단계 6.7.9.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{t + 2 t}$

단계 6.7.9.3

$t$ 를 $2 t$ 에 더합니다.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

단계 6.8

$3 e^{- t}$ 에서 $6 e^{- t}$ 을 뺍니다.

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

단계 6.9

$6 e^{t}$ 에서 $3 e^{t}$ 을 뺍니다.

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$