미적분 예제

$x^{4} - 6 x^{2}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 6 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{2}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} - 6 (2 x)$

단계 1.2.3

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 12 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{2} - 12 \cdot 1$

단계 2.3.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{2} - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$24 x + \frac{d}{d x} [- 12]$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$24 x + 0$

단계 3.3.2

$24 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 24 x$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 \cdot 1$

단계 4.3

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 24$